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第六讲 对数函数的图象及性质
一、选择题
1．已知下列函数：①y＝log(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln x(x>0)；④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)．21世纪教育网版权所有
其中为对数函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 对于①，自变量是－x，故① ( http: / / www.21cnjy.com )不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A.
【答案】 A
2．函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
【解析】 ∵函数y＝logx恒过定点(1,0)，而y＝1＋log(x－1)的图象是由y＝logx的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y＝1＋log(x－1)恒过的定点为(2,1)．故选C.
【答案】 C
3．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3，
所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C.
【答案】 C
4．已知0＜a＜1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
【解析】 函数y＝ax与y＝lo ( http: / / www.21cnjy.com )gax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即可得D正确．故选D.21教育网
【答案】 D
5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．函数f(x)＝的定义域是________．
【解析】 要使函数f(x)有意义，则即解得＜x≤1，故函数的定义域的.
【答案】
7．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.
【解析】 设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则－3＝loga8，∴a＝，
∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.
【答案】 －
8．已知函数y＝log2，下列说法：
①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的是________.
【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关 ( http: / / www.21cnjy.com )于原点对称，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x＝0时，y＝0，所以③正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
【解】 (1)要使函数有意义，则有>0，即或解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由于f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．21cnjy.com
【解】 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
∴f(x)的大致图象如图所示．
[能力提升]
1．满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
【解析】 ∵对数运算律中 ( http: / / www.21cnjy.com )有logaM＋logaN＝logaMN，∴f(x)＝log2x，满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”．故选C.21·cn·jy·com
【答案】 C
2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )www.21-cn-jy.com
【解析】 由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.2·1·c·n·j·y
又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 B
3．设函数f(x)＝lo ( http: / / www.21cnjy.com )gax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2017)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
【解析】 ∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2017)2
＝2loga(x1x2x3…x2017)
＝2f(x1x2x3…x2017)，
∴原式＝2×8＝16.
【答案】 16
4．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围.
【解】 由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm，
∴≤m，即≤m.
又0即实数m的取值范围是.
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第六讲 对数函数的图象及性质
一、选择题
1．已知下列函数：①y＝log(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln x(x>0)；④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)．21教育网
其中为对数函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
3．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
4．已知0＜a＜1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
6．函数f(x)＝的定义域是________．
7．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.
8．已知函数y＝log2，下列说法：
①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的是________.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．21cnjy.com
[能力提升]
1．满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )21世纪教育网版权所有
3．设函数f(x)＝loga ( http: / / www.21cnjy.com )x(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2017)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
4．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围.
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