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第六讲 分段函数及映射
基础巩固
1．在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为( )．
①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应
②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像
③集合B中可能有元素在集合A中无原像
④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】A 点拨：映射允许集合 ( http: / / www.21cnjy.com )B中的某些元素在集合A中没有原像，允许A中不同的元素在B中有相同的像，故①②不正确．2．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是( )．21*cnjy*com
A． B．
C． D．
【答案】C 点拨：对于选项C，A中的元素B，∴f：x→y＝不能构成A到B的映射．
3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )．
A．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
【答案】D 点拨：A中集合M ( http: / / www.21cnjy.com )的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.【来源：21cnj*y.co*m】
4．已知(x，y)在映射f下的像是(x＋y，x－y)，则(2 010，2 012)在映射f下的原像是( )．
A．(2 011，－1) B．(－1,2 011)
C．(4 022，－2) D．(－2,4 022)
【答案】A 点拨：∵∴
5．已知映射f：A→B，其中集 ( http: / / www.21cnjy.com )合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A 点拨：∵a∈A，A＝{－3，－2，－1，1,2,3,4}，
∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．
6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，设映射f：A→B，如果B中的元素都是A中的元素在f下的像，则这样的映射有( )．www.21-cn-jy.com
A．16个 B．14个
C．12个 D．8个
【答案】B 点拨：由题意知，从集合A到 ( http: / / www.21cnjy.com )集合B的映射总个数是24＝16个，因为B中的元素都是A中的元素在f下的像，所以要除去A中1,2,3,4都对应－1和1,2,3,4都对应－2这两个，故满足题意的映射共有16－2＝14个，故应选B.【来源：21·世纪·教育·网】
能力提升
7．设映射：f：x→－x2＋2x是实数集M到实数集N的映射．若对于实数p∈N，在M中不存在原像，则p的取值范围是________．21cnjy.com
【答案】(1，＋∞) 点拨：由题意可得， ( http: / / www.21cnjy.com )若p在M中不存在原像，说明方程－x2＋2x＝p无实解，即方程x2－2x＋p＝0的判别式Δ＝4－4p＜0，∴p＞1.www-2-1-cnjy-com
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方 ( http: / / www.21cnjy.com )由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．【出处：21教育名师】
【答案】6,4,1,7 点拨：根据题意得解得∴明文为6,4,1,7.
9．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并且满足：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中的元素(3，－4)在A中的原像；
(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；
(3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系．
解：(1)设(x，y)是B中的元素(3，－4)在A中的原像，
∴解得或∴(3，－4)在A中的原像有两个，分别为(－1,3)与(－3,1)．
(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足由②可得y＝x－b，将它代入①式并化简得x2－bx＋a＝0③.当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数解，因此只有当B中的元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．2-1-c-n-j-y
(3)由以上(2)的解题过程可知：只有当B中的元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像．
10．已知集合A＝{1,2,3， ( http: / / www.21cnjy.com )k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．【版权所有：21教育】
解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，
∴A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.
∵a∈N，∴仅有a2＋3a＝10，得a＝2.
则有k的像是a4.
∴3k＋1＝24，得k＝5.
11．已知集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→，试问集合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.21·cn·jy·com
解：∵f：x→是从集合A到集合B的映射，
∴A中每一个元素在集合B中都应该有像．
令＝0，该方程无解．故0没有原像．
分别令＝1,2,3可得x＝±2，，.
故集合A中的元素最多为6个，即
.
12．已知：集合A＝{x| ( http: / / www.21cnjy.com )－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．21教育网
解：①当a≥0时，集合A中元素的像满足－2a≤ax≤2a.
若能够建立从A到B的映射，则[－2a，2a][－1,1]，即
∴0≤a≤.
②当a＜0时，集合A中元素的像满足2a≤ax≤－2a，若能建立从A到B的映射，
则[2a，－2a][－1,1]，
即
∴≤a＜0.21世纪教育网
综合①②可知.
13．已知映射f：A→B中，A＝B＝{ ( http: / / www.21cnjy.com )(x，y)|x，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．21世纪教育网版权所有
(1)A中是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是它本身？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．2·1·c·n·j·y
(2)判断这个映射是不是一一映射．
解：(1)假若A中存在元素(a，b)，使它的像仍是它本身，
则有
解得，
这说明，存在元素，使它在B中的像还是它本身．
(2)由(1)的求解及结果可知，在A中的任意元素(x，y)(x，y∈R)使得方程组都有唯一解，这说明对B中任意元素，在A中有唯一的原像，21·世纪*教育网
所以映射f：A→B是A到B的一一映射．
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第六讲 分段函数及映射
基础巩固
1．在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为( )．
①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应
②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像
③集合B中可能有元素在集合A中无原像
④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是( )．
A． B．
C． D．
3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )．
A．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
4．已知(x，y)在映射f下的像是(x＋y，x－y)，则(2 010，2 012)在映射f下的原像是( )．
A．(2 011，－1) B．(－1,2 011)
C．(4 022，－2) D．(－2,4 022)
5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3 ( http: / / www.21cnjy.com )，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，设映射f：A→B，如果B中的元素都是A中的元素在f下的像，则这样的映射有( )．21世纪教育网版权所有
A．16个 B．14个
C．12个 D．8个
能力提升
7．设映射：f：x→－x2＋2x是实数集M到实数集N的映射．若对于实数p∈N，在M中不存在原像，则p的取值范围是________．21教育网
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方 ( http: / / www.21cnjy.com )由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．21cnjy.com
9．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并且满足：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中的元素(3，－4)在A中的原像；
(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；
(3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系．
10．已知集合A＝{1,2,3， ( http: / / www.21cnjy.com )k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．21·cn·jy·com
11．已知集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→，试问集合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.www.21-cn-jy.com
12．已知：集合A＝{x|－2≤x ( http: / / www.21cnjy.com )≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．2·1·c·n·j·y
13．已知映射f：A→B中 ( http: / / www.21cnjy.com )，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)A中是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是它本身？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．21·世纪*教育网
(2)判断这个映射是不是一一映射．
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