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第八讲 幂函数
1．下列函数是幂函数的是( )．
①y＝x3 ②y＝x0 ③y＝－2x2 ④y＝3x ⑤y＝x－2＋1
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
【答案】A 点拨：根据幂 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的形式特征可知，只有①②是幂函数，③中幂的系数不为1，④中幂的底数不是自变量x，指数不是常数，⑤中含有常数项，故都不是幂函数．21教育网
2．若幂函数f(x)＝xm－1在(0，＋∞)上是减函数，则( )．
A．m＞1 B．不能确定
C．m＝1 D．m＜1
【答案】D 点拨：m－1＜0m＜1，故选D.
3．函数f(x)＝的奇偶性为( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】点拨：函数f(x)＝的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝，所以此函数为奇函数．21世纪教育网版权所有
4．如图，表示具有奇偶性的函数图像可能是( )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B 点拨：根据奇函数的图像 ( http: / / www.21cnjy.com )关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称可知，选项B中的函数为偶函数．选项C中的点(0,1)关于原点的对称点(0，－1)不在图像上，所以选项C中的函数不是奇函数．
5．f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)是增函数，则f(－π)，f(3)，f(－5)的大小关系是( )．
A．f(3)＜f(－π)＜f(－5) B．f(－π)＜f(－5)＜f(3)
C．f(3)＜f(－5)＜f(－π) D．f(－5)＜f(－π)＜f(3)
【答案】A 点拨：∵f(－π)＝f(π)，f(－5)＝f(5)，且当x≥0时，f(x)是增函数，∴f(3)＜f(－π)＜f(－5)．
6．如果幂函数y＝(m2－9m＋19)x2m－7的图像不过原点，则( )．
A． B．m＝3
C．m＝3或6 D．m不存在
【答案】B 点拨：由幂函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的形式特征可知，m2－9m＋19＝1，即m2－9m＋18＝0，解得m＝3或m＝6.当m＝3时，y＝x－1的图像不过原点；当m＝6时，y＝x5的图像经过原点，所以m＝3.
7．有下列函数：①y＝x2－3|x|＋2；②y＝x2，x∈(－2,2]；③y＝x3；④y＝x－1，其中是偶函数的有( )．
A．① B．①③
C．①② D．②④
【答案】A 点拨：函数y＝x2－3|x| ( http: / / www.21cnjy.com )＋2的定义域R关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2－3|－x|＋2＝x2－3|x|＋2＝f(x)，所以此函数是偶函数；函数y＝x2，x∈(－2,2]的定义域(－2,2]不关于原点对称，所以此函数不是偶函数；函数y＝x3的定义域R关于原点对称，而f(－x)＝(－x)3＝－x3≠f(x)，所以此函数不是偶函数；函数y＝x－1的定义域R关于原点对称，而f(－x)＝－x－1≠f(x)，所以此函数不是偶函数．
8．下列说法中，不正确的是( )．
A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图像一定经过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点个数一定是偶数
D．图像关于y轴对称的函数一定是偶函数
【答案】B 点拨：由奇函数和偶函数的定义可知，选项A，D正确；奇函数的图像不一定经过原点，如y＝x－1；由偶函数的对称性可知，选项C正确．21cnjy.com
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为( )．
A． B． C． D．
【答案】A 点拨：∵函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，
∴a＋1＋2a＝0，解得.此时f(x)＝＋bx＋1的对称轴，即b＝0，
∴a＋b＝.
10．定义在R的偶函数f(x)满足：对 ( http: / / www.21cnjy.com )任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则n∈N＋时，有( )．21·cn·jy·com
A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)
B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)
C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)
D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)
【答案】C 点拨：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－n)＝f(n)．
∵f(x)对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]＞0，即或，www.21-cn-jy.com
∴函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．
又∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∵0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n－1)＞f(n)＞f(n＋1)，
即f(n－1)＞f(－n)＞f(n＋1)．
11．已知f(x)＝则f(x)为( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A 点拨：函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
当x＞0时，有f(x)＝x2－x＋1，－x＜0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)－1＝－x2＋x－1＝－(x2－x＋1)＝－f(x)；
当x＜0时，有f(x)＝－x2－x－1，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＋1
＝x2＋x＋1＝－(－x2－x－1)
＝－f(x)．
综上可得，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)是奇函数
12．已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝xf(x)(x∈R)，则f(1)＝________.
【答案】0 点拨：∵函数f(x)是R上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．
令x＝－1，由f(x＋2)＝xf(x)得
f[(－1)＋2]＝(－1)×f(－1)，
即f(1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.
13．定义在R上的奇函数f(x)在 ( http: / / www.21cnjy.com )区间[1,4]上是增函数，在区间[2,3]上的最小值为－1，最大值为8，则2f(2)＋f(－3)＋f(0)＝__________.2·1·c·n·j·y
【答案】－10 点拨：∵奇 ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)的定义域为R，∴f(0)＝0，又∵f(x)在区间[1,4]上是增函数，∴f(2)＝－1，f(3)＝8，f(－3)＝－f(3)＝－8.∴2f(2)＋f(－3)＋f(0)＝－10.【来源：21·世纪·教育·网】
14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0＜x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)的值为________．
【答案】－0.5 点拨：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)
＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)
＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－0.5)＝－f(0.5)．
而当0＜x≤1时，f(x)＝x，
∴f(7.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的单调递增区间．
【答案】解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，
∴当x＞0时，－x＜0，
即f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，
∴f(x)＝
(2)图像如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．已知函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)是奇函数；
(3)若F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，已知F(－5)＝7，求F(5)．
解：(1)∵函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)，
∴令a＝b＝0得f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)，
即f(0)＝0.
(2)证明：令a＝b＝1得，f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)，即f(1)＝0.21世纪教育网21·世纪*教育网
令a＝b＝－1得，f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)，即f(－1)＝0.www-2-1-cnjy-com
令a＝－1，b＝x得，f[(－1)×x]＝xf(－1)＋(－1)f(x)，
即f(－x)＝xf(－1)－f(x)，
∵f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)∵f(x)是奇函数，
∴f(－5)＝－f(5)．
∵F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，且F(－5)＝7，
∴af(－5)＋b×(－5)5＋c×(－5)3＋2×(－5)2＋d×(－5)＋3＝7，
即af(5)＋b×55＋c×53＋d×5＝46.
∴F(5)＝af(5)＋b×55＋c×53＋2×52＋d×5＋3＝46＋50＋3＝99.
17．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明函数f(x)在(－1,1)上是单调增函数；
(3)解不等式f(m－1)＋f(m)＜0.
解：(1)∵f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(x)在x＝0处有意义，且f(0)＝0.
∴，即b＝0.
又∵，∴，
∴a＝1.故f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＜1.
∴f(x1)－f(x2)＝＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
由单调函数的定义可知，函数f(x)在(－1,1)上是单调增函数．
(3)由f(m－1)＋f(m)＜0得，f(m－1)＜－f(m)．
∵函数f(x)是奇函数，∴f(－m)＝－f(m)，
∴f(m－1)＜f(－m)．
∵f(x)是(－1,1)上的单调增函数，
∴
解得0＜m＜.
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1．下列函数是幂函数的是( )．
①y＝x3 ②y＝x0 ③y＝－2x2 ④y＝3x ⑤y＝x－2＋1
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
2．若幂函数f(x)＝xm－1在(0，＋∞)上是减函数，则( )．
A．m＞1 B．不能确定
C．m＝1 D．m＜1
3．函数f(x)＝的奇偶性为( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
4．如图，表示具有奇偶性的函数图像可能是( )．
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5．f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)是增函数，则f(－π)，f(3)，f(－5)的大小关系是( )．
A．f(3)＜f(－π)＜f(－5) B．f(－π)＜f(－5)＜f(3)
C．f(3)＜f(－5)＜f(－π) D．f(－5)＜f(－π)＜f(3)
6．如果幂函数y＝(m2－9m＋19)x2m－7的图像不过原点，则( )．
A． B．m＝3
C．m＝3或6 D．m不存在
7．有下列函数：①y＝x2－3|x|＋2；②y＝x2，x∈(－2,2]；③y＝x3；④y＝x－1，其中是偶函数的有( )．
A．① B．①③
C．①② D．②④
8．下列说法中，不正确的是( )．
A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图像一定经过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点个数一定是偶数
D．图像关于y轴对称的函数一定是偶函数
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为( )．
A． B． C． D．
10．定义在R的偶函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则n∈N＋时，有( )．21世纪教育网版权所有
A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)
B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)
C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)
D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)
11．已知f(x)＝则f(x)为( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
12．已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝xf(x)(x∈R)，则f(1)＝________.
13．定义在R上的奇函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)在区间[1,4]上是增函数，在区间[2,3]上的最小值为－1，最大值为8，则2f(2)＋f(－3)＋f(0)＝__________.21教育网
14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0＜x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)的值为________．
15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的单调递增区间．
16．已知函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)是奇函数；
(3)若F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，已知F(－5)＝7，求F(5)．
17．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明函数f(x)在(－1,1)上是单调增函数；
(3)解不等式f(m－1)＋f(m)＜0.
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