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第八讲 函数的最值
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销 ( http: / / www.21cnjy.com )售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )21教育网
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
二、填空题
6．函数y＝在[2,3]上的最小值为________．
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
8．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)用定义证明函数在区间[1，＋∞)上是增函数；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值．
10．有甲、乙两种商品，经营销售这两 ( http: / / www.21cnjy.com )种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？21世纪教育网版权所有
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第八讲 函数的最值
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
【答案】选A B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.21世纪教育网版权所有
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
【答案】选A 当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】选C ∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.21世纪教育网21世纪教育网
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【答案】选C 令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车， ( http: / / www.21cnjy.com )销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )21·cn·jy·com
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
【答案】选C 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋302·1·c·n·j·y
＝－(x－)2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
二、填空题
6．函数y＝在[2,3]上的最小值为________．
【答案】解析：作出图象可知y＝在[2,3]上是减函数，ymin＝＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：如右图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，
∴1
答案：(1,3]
8．对于函数f(x)＝x2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________．
解析：a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，
则a2－4a＋6的下确界为2.
答案：2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)用定义证明函数在区间[1，＋∞)上是增函数；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值．
解：(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1∵1≤x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，
∴f(x)max＝f(4)＝＝，
f(x)min＝f(2)＝＝
10．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品 ( http: / / www.21cnjy.com )所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？21教育网
解：设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，根据题意得y＝x＋(0≤x≤3)．21cnjy.com
令＝t，则x＝3－t2,0≤t≤.
所以y＝(3－t2)＋t＝－(t－)2＋，
t∈[0， ]．
当t＝时，ymax＝，此时x＝0.75,3－x＝2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．www.21-cn-jy.com
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