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第五讲 函数的表示法
基础巩固
1．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图像的是( )．
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【答案】B 点拨：y＝－|x|＝注意端点的取舍．
2．函数f(x)＝则f(f(3))＝( )．
A． B．3 C． D．
【答案】D 点拨：f(3)＝，f(f(3))＝.
3．已知f(x3－1)＝x＋1，则f(7)的值为( )．
A． B．
C．3 D．2
【答案】C 点拨：令x3－1＝7，得x3＝8，
∴x＝2，∴f(7)＝2＋1＝3.
4．已知f(x)＝则f[f(1)]的值为( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A 点拨：∵f(1)＝f(－1)＝(－1)2－1＝0，
∴f[f(1)]＝f(0)＝02－1＝－1.
5．若，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝( )．
A． B．
C． D．
【答案】B 点拨：令＝t，则，
∴f(t)＝.
∴f(x)＝.
6．已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则( )．
A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)
B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)
C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)
D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)
【答案】B 点拨：∵f(x)＝2x＋1的定义域为[1,3]，
∴f(x－1)＝2(x－1)＋1＝2x－1，且其定义域为[2,4]．
能力提升
7．已知f(x)＝kx＋b(k＜0)，且f[f(x)]＝4x＋1，则f(x)＝( )．
A．－2x－1 B．－2x＋1
C．－x＋1 D．
【答案】A 点拨：∵f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋1，∴∴
8．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是( )．
A．0 B． C． D．3
【答案】C 点拨：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图像如图所示(实线部分)，由图像可得，其最小值为.因此选C21世纪教育网版权所有
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9．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A 点拨：f(a)＋f(1)＝f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2.结合函数表达式可知a＜0，∴f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－321·cn·jy·com
10．已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝______.
【答案】－3 点拨：分两种情况 ( http: / / www.21cnjy.com )：当x≤0时，由f(x)＝x2＋1＝10得x＝－3或x＝3(舍去)；当x＞0时，由f(x)＝－2x＝10得x＝－5(舍去)，综上可知x＝－3.2·1·c·n·j·y
11．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】3 点拨：由函数解析式可得f(－4)＝(－4)2＋b×(－4)＋c＝16－4b＋c，f(0)＝02＋b×0＋c＝c，
f(－2)＝(－2)2＋b×(－2)＋c＝4－2b＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴16－4b＋c＝c，且4－2b＋c＝－2，即b＝4，c＝2.21世纪教育网
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x得x2＋4x＋2＝x，即x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1，或x＝－2.
当x＞0时，由f(x)＝x得，x＝2.
综上可知，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为3.
12．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图所示，则f(x)的解析式为________．
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【答案】f(x)＝
点拨：设y轴左侧函数的解析式为y＝kx＋b(k＞0，－1≤x≤0)，把点(－1,0)，(0,1)的坐标代入上式得21教育网
∴∴y＝x＋1(－1≤x≤0)．
同理可得y轴右侧函数的解析式为y＝－x(0＜x≤2)．
13．若定义运算ab＝则函数f(x)＝x(2－x)的值域是______．
【答案】(－∞，1] 点拨：由题意，得f(x)＝画函数f(x)的图像，如图所示．
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由图像得函数f(x)的值域是(－∞，1]．
14．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.
【答案】 点拨：∵2f(x)＋f(－x)＝3x＋2①，用－x替代关系式中的x，
得2f(－x)＋f(x)＝3(－x)＋2②，
∴①×2－②得f(x)＝.
15．设f(x)＝若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为________．
【答案】(－∞，－1)∪(0，＋ ( http: / / www.21cnjy.com )∞) 点拨：画出函数f(x)的图像，如图中实线部分所示，再作出直线y＝－1.若f(x)＞－1，则x＜－1，或x＞0.21cnjy.com
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16．当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？
解：先作出y＝x2－4|x|＋5＝的图像(如图所示)．
( http: / / www.21cnjy.com / )21世纪教育网
再作出直线y＝m，从图中可以直接看出，当1＜m＜5时，方程有四个互不相等的实根．
17．已知函数f(x)对任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)，且f(1)＝1，求f(x)的解析式．
解：∵f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y) ( http: / / www.21cnjy.com )对任意x，y∈R都成立，可令x＝0，y＝1，得f(1)＝f(0)＋2×1×(0＋1)，又f(1)＝1，解得f(0)＝－1，www.21-cn-jy.com
再令x＝0，y＝x，得f(x)＝f(0)＋2x(0＋x)＝－1＋2x2，即f(x)＝2x2－1.
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基础巩固
1．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图像的是( )．
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2．函数f(x)＝则f(f(3))＝( )．
A． B．3 C． D．
3．已知f(x3－1)＝x＋1，则f(7)的值为( )．
A． B．
C．3 D．2
4．已知f(x)＝则f[f(1)]的值为( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．若，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝( )．
A． B．
C． D．
6．已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则( )．
A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)
B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)
C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)
D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)
能力提升
7．已知f(x)＝kx＋b(k＜0)，且f[f(x)]＝4x＋1，则f(x)＝( )．
A．－2x－1 B．－2x＋1
C．－x＋1 D．
8．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是( )．
A．0 B． C． D．3
9．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
10．已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝______.
11．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．21世纪教育网版权所有
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13．若定义运算ab＝则函数f(x)＝x(2－x)的值域是______．
14．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.
15．设f(x)＝若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为________．
16．当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？
17．已知函数f(x)对任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)，且f(1)＝1，求f(x)的解析式．
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