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第九讲 函数的奇偶性
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x
2．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
4．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26 B．－18
C．－10 D．10
5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
二、填空题
6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．
7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)8．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.
三、解答题
9．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
10．已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．
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第九讲 函数的奇偶性
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x
【答案】选A 易判断A，C为偶函数，B，D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.21世纪教育网版权所有
2．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
【答案】选B ∵f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，
∴点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)图象上．
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
【答案】选C f(x)为 ( http: / / www.21cnjy.com )奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.21cnjy.com
4．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26 B．－18
C．－10 D．10
【答案】选A 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，
则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．
又f(x)＝g(x)－8，21世纪教育网
∴f(－2)＝g(－2)－8＝10 g(－2)＝18.
∴g(2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
【答案】选D 因为f(x)为定义在R上 ( http: / / www.21cnjy.com )的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.21教育网
二、填空题
6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．
解析：令x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝
答案：f(x)＝
7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)解析：偶函数f(x)在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )[0，＋∞)上单调增加，所以函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则f(－)＝f()．21·cn·jy·com
由f(2x－1)解①得≤x<，解②得综上，得答案：(，)
8．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.
解析：令x＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．
故＝－＋f(2)，则f(2)＝1.
令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝.
令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝＋1＝.
答案：
三、解答题
9．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)由题意知即解得
∴f(x)＝.
(2)证明：任取－10，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵－1∴－10.
于是f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)为(－1,1)上的增函数．
(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－110．已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．
证明：设x1，x2是(－∞，0)上的任意两个值，且x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(－x1)又f(x)是奇函数，∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
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