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第七讲 函数的单调性
基础巩固
?1.下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．
A．f(x)＝－x＋3 B．f(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝－|x－1| D．f(x)＝
【答案】B 点拨：画出各个函数的图像，由单调函数图像特征可知，选项B正确．
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2．若函数y＝f(x)定义在[－1,2]上，且满足＜f(1)，则f(x)在区间[－1,2]上的单调性是( )．
A．增函数 B．减函数
C．先减后增 D．无法判断其单调性
【答案】D 点拨：增、减函数的定义中的x1，x2具有任意性，仅由两个特殊自变量和1的函数值的大小关系无法判断函数f(x)的单调性．21cnjy.com
3．已知函数y＝ax和在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )．
A．减函数且f(0)＞0 B．增函数且f(0)＞0
C．减函数且f(0)＜0 D．增函数且f(0)＜0
【答案】C 点拨：由题意，知a＜0，b＜0.
∴f(x)＝bx＋a在R上是减函数，且f(0)＝a＜0.
4．函数f(x)＝的单调性为( )．
A．在(0，＋∞)上为减函数
B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数
C．不能判断单调性
D．在(－∞，＋∞)上是增函数
【答案】D 点拨：画出分段函数f(x)的图像可知，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
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5．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
【答案】a≥－3 点拨：≤2a≥－3.
6．已知函数f(x)＝(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
【答案】解：(1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
∵f(x2)－f(x1)＝＞0，
∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．
(2)∵f(x)在上单调递增，
∴，f(2)＝2，易得.
能力提升
7．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，则必有( )．
A．函数f(x)是先增后减
B．函数f(x)是先减后增
C．f(x)在R上是增函数
D．f(x)在R上是减函数
【答案】D 点拨：由，知a－b与f(a)－f(b)永远异号，由单调函数的定义知，f(x)在R上是减函数．21世纪教育网版权所有
8．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a∈R，则( )．
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)
【答案】D 点拨：当a∈R时，a与2a，a2与a，a2＋a与a的大小关系不确定，所以不能由函数的单调性比较相应的两个函数值的大小，而a2＋1－a＝＞0，∴a2＋1＞a.21教育网
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴f(a2＋1)＜f(a)．
9．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b＞0，则有( )．
A．f(a)＋f(b)＞－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)＜－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
【答案】C 点拨：∵a＋b ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，∴a＞－b，b＞－a.由函数的单调性可知，f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，两式相加得选项C正确．21·cn·jy·com
10．函数f(x)在其定义域M上是增函数，且f(x)＞0，那么在M上为减函数的是( )．
A．y＝4＋3f(x) B．y＝[f(x)]2
C．y＝3＋ D．y＝2－
【答案】C 点拨：(特例法)取f(x)＝x(x＞0)，很容易可以判断y＝3＋在定义域内为减函数．
11．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )．
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
【答案】D 点拨：函数g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，则a＞0，f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，则a≤1，故0＜a≤1.www.21-cn-jy.com
12．函数f(x)＝x|x－1|的单调增区间为__________．
【答案】和[1，＋∞) 点拨：f(x)＝x|x－1|＝当x≥1时，f(x)＝x2－x在[1，＋∞)上单调递增；当x＜1时，f(x)＝x－x2在上单调递增；所以单调增区间为和[1，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝(x∈[3,6])，
(1)讨论函数f(x)在[3,6]上的单调性，并证明你的结论；
(2)求函数f(x)的最大值与最小值；
(3)若函数g(x)＝m的图像恒在f(x)的图像的上方，求m的取值范围．
解：(1)函数f(x)在[3,6]上是减函数，下面进行证明：
任取x1，x2∈[3,6]，且x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＝＞0，
即f(x1)＞f(x2)．
由单调函数的定义可知，函数f(x)＝在[3,6]上是减函数．
(2)由(1)知，f(x)max＝f(3)＝2，
f(x)min＝f(6)＝.
(3)若函数g(x)＝m的图像恒在f(x)的图像的上方，则m应不小于函数f(x)的最大值2，∴m的取值范围是m≥2.2·1·c·n·j·y
14．定义域在(0，＋∞)上的 ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)满足(1)f(2)＝1；(2)f(xy)＝f(x)＋f(y)；(3)当x＞y时，有f(x)＞f(y)．若f(x)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围．21·世纪*教育网
解：∵当x＞y时，有f(x)＞f(y)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1，
∴若f(x)＋f(x－3)≤2，即f(x)＋f(x－3)≤f(2)＋f(2)，则f[x(x－3)]≤f(4)．【来源：21·世纪·教育·网】
∴解得3＜x≤4.
∴x的取值范围是(3,4]．
15．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2.www-2-1-cnjy-com
(1)求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)判断(1)中函数在(0,2)和[2，＋∞)上的单调性并用定义法加以证明；
(3)如何设计水池尺寸，才能使总造价最低？
解：(1)设长方体无盖水池的池底一边长为x m，则另一边长为m，又设总造价为y元，由题意得
，
即y＝480＋320，x∈(0，＋∞)．
(2)函数在(0,2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，下面进行证明：
任取x1，x2∈(0,2)，且x1＜x2，则x1－x2＜0.
∴f(x1)－f(x2)
＝
＝
＝＞0，
即f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)在(0,2)上是减少的．
同理可证，f(x)在[2，＋∞)上是增加的．
(3)由(2)中函数的单调性可知，当x＝2，即池底是正方形时，总造价最低，最低为1 760元．
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第七讲 函数的单调性
基础巩固
?1.下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．
A．f(x)＝－x＋3 B．f(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝－|x－1| D．f(x)＝
2．若函数y＝f(x)定义在[－1,2]上，且满足＜f(1)，则f(x)在区间[－1,2]上的单调性是( )．
A．增函数 B．减函数
C．先减后增 D．无法判断其单调性
3．已知函数y＝ax和在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )．
A．减函数且f(0)＞0 B．增函数且f(0)＞0
C．减函数且f(0)＜0 D．增函数且f(0)＜0
4．函数f(x)＝的单调性为( )．
A．在(0，＋∞)上为减函数
B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数
C．不能判断单调性
D．在(－∞，＋∞)上是增函数
5．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
6．已知函数f(x)＝(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
能力提升
7．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，则必有( )．
A．函数f(x)是先增后减
B．函数f(x)是先减后增
C．f(x)在R上是增函数
D．f(x)在R上是减函数
8．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a∈R，则( )．
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)
9．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b＞0，则有( )．
A．f(a)＋f(b)＞－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)＜－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
10．函数f(x)在其定义域M上是增函数，且f(x)＞0，那么在M上为减函数的是( )．
A．y＝4＋3f(x) B．y＝[f(x)]2
C．y＝3＋ D．y＝2－
11．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )．
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
12．函数f(x)＝x|x－1|的单调增区间为__________．
13．已知函数f(x)＝(x∈[3,6])，
(1)讨论函数f(x)在[3,6]上的单调性，并证明你的结论；
(2)求函数f(x)的最大值与最小值；
(3)若函数g(x)＝m的图像恒在f(x)的图像的上方，求m的取值范围．
14．定义域在(0，＋∞)上的函 ( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)满足(1)f(2)＝1；(2)f(xy)＝f(x)＋f(y)；(3)当x＞y时，有f(x)＞f(y)．若f(x)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围．21世纪教育网版权所有
15．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2.21教育网
(1)求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)判断(1)中函数在(0,2)和[2，＋∞)上的单调性并用定义法加以证明；
(3)如何设计水池尺寸，才能使总造价最低？
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