【同步讲义】人教新课标A版必修4 第三章 第2讲 两角和与差的正弦余弦正切公式（解析版）

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第二讲 两角和与差的正弦余弦正切公式
【学习目标】
1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
【知识总结】一、两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角；
(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到【来源：21·世纪·教育·网】
；
(4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证；
(5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.
【知识总结】二、两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角；
(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
(4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：21世纪教育网版权所有
这也体现了数学中的整体原则.
(5)记忆时要与两角和与差的余弦公 ( http: / / www.21cnjy.com )式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同.21cnjy.com
【知识总结】三、两角和与差的正切函数
利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：；
(2)公式的变形：
(3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.
(4)公式对分配律不成立，即.
类型一　给角求值
例1　(1)(2017·衡水高一检测)已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　两角和与差的正弦公式
题点　利用两角和与差的正弦公式求值
答案　C
解析　因为角α的终边经过点(－3,4)，
则sin α＝，cos α＝－，
所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×－×＝.
(2)计算：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.
考点　两角和与差的正弦公式
题点　利用两角和与差的正弦公式求值
解　原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
反思与感悟　解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．21教育网
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．21·cn·jy·com
【针对训练】求值：＝ .
考点　两角和与差的正弦公式
题点　利用两角和与差的正弦公式求值
答案　2－
解析　原式＝
＝
＝＝＝＝＝2－.
类型二　给值求值
例2　已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
考点　两角和与差的正弦公式
题点　利用两角和与差的正弦公式求值
解　∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
反思与感悟　(1)给值(式)求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．www.21-cn-jy.com
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
【针对训练】已知cos＝，x∈(0，π)，则sin x的值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　两角和与差的正弦公式
题点　利用两角和与差的正弦公式求值
答案　B
解析　由题意得x＋∈，
所以sin＝，
所以sin x＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
类型三　辅助角公式
例3　(1)求值：cos ＋sin ＝ .
考点　利用简单的三角恒等变换化简求值
题点　利用辅助角公式化简求值
答案　
解析　原式＝2＝2sin ＝.
(2)当函数y＝sin x－cos x(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝ .
考点　利用简单的三角恒等变换化简求值
题点　利用辅助角公式化简求值
答案　
解析　y＝2sin，
∵0≤x≤2π，∴－≤x－≤，
∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.
反思与感悟　一般地，对于asin α＋bc ( http: / / www.21cnjy.com )os α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．2·1·c·n·j·y
【针对训练】　sin －cos ＝ .
考点　利用简单的三角恒等变换化简求值
题点　利用辅助角公式化简求值
答案　－
解析　原式＝2
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
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