【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第6讲 正弦函数、余弦函数的性质（解析版）

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第六讲　正弦函数、余弦函数的性质
一、正弦函数、余弦函数的性质(一)
学习目标　
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ) ( http: / / www.21cnjy.com )及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点一　函数的周期性
思考1　如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？
答案　不一定．必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以说3是f(x)的周期．
思考2　所有的函数都具有周期性吗？
答案　不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．
梳理　函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非 ( http: / / www.21cnjy.com )零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．www-2-1-cnjy-com
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性
思考1　证明函数y＝sin x和y＝cos x都是周期函数．
答案　∵sin(x＋2π)＝sin x，cos(x＋2π)＝cos x，
∴y＝sin x和y＝cos x都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．
思考2　证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函数．【版权所有：21教育】
答案　由诱导公式一知，对任意x∈R，
都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，
所以Asin＝Asin(ωx＋φ)，
即f＝f(x)，
所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．
同理，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)也是周期函数．
梳理　由sin(x＋2k ( http: / / www.21cnjy.com )π)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)知，y＝sin x与y＝cos x都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.
知识点三　正弦函数、余弦函数的奇偶性
思考　对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？
答案　 奇偶性．
梳理　(1)对于y＝sin x，x∈R，恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称．
(2)对于y＝cos x，x∈R，恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
1．函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数．(　×　)
提示　周期函数需满足对定义域内 ( http: / / www.21cnjy.com )每一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，对于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，∴f(x)＝x2不是以6为周期的周期函数．
2．周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)．(　×　)
提示　周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．
3．任何周期函数都有最小正周期．(　×　)
提示　常函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.
类型一　三角函数的周期性
例1　求下列函数的最小正周期．
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sin x|(x∈R)．
考点　正弦函数、余弦函数的周期性
题点　正弦函数、余弦函数的周期性
解　(1)方法一　令z＝2x＋，因为x∈R，所以z∈R.
函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π，
即变量z只要且至少要增加到z＋2π，
函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得．
而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，所以函数f(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是π.
方法二　f(x)＝sin的最小正周期为＝π.
(2)因为y＝|sin x|＝(k∈Z)．
其图象如图所示，
所以该函数的最小正周期为π.
反思与感悟　对于形如函数y＝Asin(ωx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T＝来求解，对于y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来求解．
跟踪训练1　下列函数是以π为周期的函数是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin x＋2
C．y＝cos 2x＋2 D．y＝cos 3x－1
考点　正弦函数、余弦函数的周期性
题点　正弦函数、余弦函数的周期性
答案　C
解析　y＝sin x及y＝sin x＋2的周期为2π，y＝cos 2x＋2的周期为π，y＝cos 3x－1的周期为.
类型二　三角函数的奇偶性
例2　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos＋x2sin x；
(2)f(x)＝＋.
考点　正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
题点　正弦函数、余弦函数的奇偶性
解　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由得cos x＝.
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z.
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
反思与感悟　判断函数奇偶性应把握好两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
跟踪训练2　若函数y＝cos(ωx＋φ)是奇函数，则(　　)
A．ω＝0 B．φ＝kπ(k∈Z)
C．ω＝kπ(k∈Z) D．φ＝kπ＋(k∈Z)
考点　正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
题点　正弦函数、余弦函数的奇偶性
答案　D
解析　由函数y＝cos(ωx＋φ)是奇函数，
可知y＝cos(ωx＋φ)＝sin ωx或y＝cos(ωx＋φ)＝－sin ωx，
由诱导公式，得φ＝kπ＋(k∈Z)．
类型三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．21世纪教育网版权所有
考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点　正弦函数性质的综合应用
解　∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
又∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝.
∴f＝.
例4　已知函数f(x)＝cosx，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值．
考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点　余弦函数性质的综合应用
解　∵f(1)＝cos＝，f(2)＝cos＝－，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos＝－，f(5)＝cos＝，f(6)＝cos 2π＝1，21·cn·jy·com
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理，可得每连续六项的和均为0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)
＝f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)
＝cos＋cos＋cos＋cos
＝cos＋cos＋cos π＋cos
＝＋＋(－1)＋＝－.
反思与感悟　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．21·世纪*教育网
跟踪训练3　设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.2-1-c-n-j-y
考点　正弦函数、余弦函数性质的综合应用
题点　正弦函数性质的综合应用
答案　
解析　∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)2·1·c·n·j·y
＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)
＝336
＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)
＝336×0＋f(1)＋f(2)
＝sin ＋sin π＝.
二、正弦函数、余弦函数的性质(二)
学习目标　
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
知识点一　正弦、余弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．
正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sin x，x∈R，有：
当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cos x，x∈R，有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
知识点二　正弦、余弦函数的单调性
思考1　观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象．正弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？21教育网
答案　观察图象可知：
当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；
当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考2　观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象．
余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案　观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考3　正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？
答案　 y＝sin x的增区间为，k∈Z，减区间为，k∈Z.
y＝cos x的增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z.
梳理　
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在，k∈Z上递增，在，k∈Z上递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
类型一　求正弦、余弦函数的单调区间
例1　求函数y＝2sin的单调递增区间．
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的判断
解　y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，
即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
反思与感悟　用整体替换法求函数y＝Asi ( http: / / www.21cnjy.com )n(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
跟踪训练1　求函数f(x)＝2cos的单调递增区间．
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的判断
解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
类型二　正弦、余弦函数单调性的应用
命题角度1　利用正、余弦函数的单调性比较大小
例2　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；
(2)cos与cos.
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的应用
解　(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
(2)cos＝cos π＝cos＝cos π，
cos＝cos π＝cos＝cos .
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos π反思与感悟　用正弦函数或 ( http: / / www.21cnjy.com )余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2　cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案　cos 1>cos 2>cos 3
解析　由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3.21*cnjy*com
命题角度2　已知三角函数的单调性求参数范围
例3　已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的应用
解　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得
－＋≤x≤＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
根据题意，得 (k∈Z)，
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是.
反思与感悟　此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．【出处：21教育名师】
跟踪训练3　已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案　A
解析　取ω＝，f(x)＝sin，
其减区间为，k∈Z，
显然 ，k∈Z，排除B，C.
取ω＝2，f(x)＝sin，
其减区间为，k∈Z，
显然 ，k∈Z，排除D.
类型三　正弦、余弦函数的值域或最值
例4　求函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈的值域．
考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点　正弦函数的最大值与最小值
解　令t＝sin x，因为x∈，
所以t∈，则f(x)可化为
y＝2t2＋2t－＝22－1，t∈，
所以当t＝时，ymin＝1，
当t＝1时，ymax＝，
故f(x)的值域是.
反思与感悟　一般函数的值域求法有：观察法、 ( http: / / www.21cnjy.com )配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．21cnjy.com
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y＝sin(ωx ( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c ( http: / / www.21cnjy.com )(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．21教育名师原创作品
(3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．21*cnjy*com
考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点　正弦函数的最大值与最小值
解　∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1.
若a＝0，不满足题意．
若a＞0，则解得
若a＜0，则解得
故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12.
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