【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第8讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（解析版）

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第八讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学习目标　
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
知识点一　φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
思考1　如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？
答案　向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度．
思考2　如何由y＝sin x的图象变换得到y＝sin的图象？
答案　向左平移个单位长度．
梳理　如图所示，对于函数y＝sin ( http: / / www.21cnjy.com )(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．21·cn·jy·com
知识点二　ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
思考1　函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？
答案　2π，π，4π.
思考2　当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
答案　当三个函数的函数值相同时， ( http: / / www.21cnjy.com )y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．www.21-cn-jy.com
思考3　函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？
答案　 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可．
梳理　如图所示，函数y＝s ( http: / / www.21cnjy.com )in(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点三　A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考　对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
答案　对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的.21世纪教育网版权所有
梳理　如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ) ( http: / / www.21cnjy.com )(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0知识点四　函数y＝sin x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象关系
正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：
y＝sin x的图象 y＝sin(x＋φ)的图象eq \o(―――――――――――――→,\s\up5(所有点的横坐标变为原来的倍, 纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．2·1·c·n·j·y
1．把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．(　×　)
提示　得到y＝sin 2＝sin的图象．
2．要得到函数y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向左平移个单位长度得到．(　×　)
提示　y＝sin，故要得到y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向右平移个单位长度．2-1-c-n-j-y
3．把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 2x的图象．(　×　)
提示　应得到y＝sin x的图象．
4．函数y＝cos的图象是由函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)
提示　由平移的规律可知其正确.
类型一　平移变换
例1　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
考点　三角函数图象的平移变换和伸缩变换
题点　三角函数图象的平移变换
解　函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
引申探究
1．若将本例中y＝sin改为y＝cos，其它不变，又该怎样变换？
解　y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x上所有的点向左平移个单位长度得到．
2．若将本例改为：函数y＝sin的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？
解　y＝sin＝sin，可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．
反思与感悟　对平移变换应先观察函 ( http: / / www.21cnjy.com )数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度．21教育网
跟踪训练1　将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
考点　三角函数图象的平移变换和伸缩变换
题点　三角函数图象的平移变换
答案　A
解析　依题意将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
y＝sin 2＝sin.
类型二　伸缩变换
例2　将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．21·世纪*教育网
考点　三角函数图象的平移变换和伸缩变换
题点　三角函数图象的伸缩变换
答案　y＝sin
引申探究
若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数解析式为________．www-2-1-cnjy-com
答案　y＝5sin
反思与感悟　对于函数y＝sin ( http: / / www.21cnjy.com )x，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y＝sin .若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍，则得到函数y＝Asin x，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换．21*cnjy*com
跟踪训练2　(2017·合肥高一检测)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到的解析式是________．【来源：21cnj*y.co*m】
考点　三角函数图象的平移变换和伸缩变换
题点　三角函数图象的伸缩变换
答案　y＝sin 2x
类型三　图象变换的综合应用
例3　把函数y＝f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )的图象上的各点向右平移个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．【出处：21教育名师】
考点　三角函数图象的综合应用
题点　三角函数图象的综合应用
解　y＝2sineq \o(――――――――――→,\s\up7(纵坐标伸长到原来的倍))
y＝3sineq \o(――――――――――→,\s\up7(横坐标缩短到原来的倍))
y＝3sineq \o(―――――――――→,\s\up7(向左平移个单位长度))
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
反思与感悟　(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．【版权所有：21教育】
跟踪训练3　将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为(　　)21教育名师原创作品
A. B. C. D.
考点　三角函数图象的综合应用
题点　三角函数图象的综合应用
答案　B
解析　因为函数y＝2sin的图象向左平 ( http: / / www.21cnjy.com )移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为，故选B.
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