【同步讲义】人教新课标A版必修4 第三章 第3讲 二倍角的正弦余弦正切公式（解析版）

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第三讲 二倍角的正弦余弦正切公式
【学习目标】
1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
【知识总结】一、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；
(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：；21世纪教育网版权所有
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
【知识总结】二、二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
；．
．
．
2．公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
【知识总结】三、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；21·cn·jy·com
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
类型一　给角求值
例1　(1)计算：cos2－sin2；
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　利用余弦的二倍角公式化简求值
解　原式＝cos ＝.
(2)计算：；
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　利用正切的二倍角公式化简求值
解　＝2·＝2·＝－2.
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　利用正弦的二倍角公式化简求值
解　原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°·cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝＝.
反思与感悟　对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．21cnjy.com
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘 ( http: / / www.21cnjy.com )，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
【针对训练】　(1)(2018·牌头中学月考)已知sin α＝，则cos(π－2α)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　利用正弦的二倍角公式化简求值
答案　B
(2)－cos2＝________；
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　利用余弦的二倍角公式化简求值
答案　－
解析　原式＝＝－cos ＝－.
类型二　给值求值
例2　(1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝________.
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　综合应用二倍角公式化简求值
答案　
解析　(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α
＝1－sin 2α＝2，
即sin 2α＝1－2＝.
(2)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)
A. B. C．1 D.
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　综合应用二倍角公式化简求值
答案　A
解析　cos2α＋2sin 2α＝＝.
把tan α＝代入，得
cos2α＋2sin 2α＝＝＝.故选A.
反思与感悟　(1)条件求值问题常有两种解题途径：
①对题设条件变形，把条件中的角、函数 ( http: / / www.21cnjy.com )名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．21教育网
(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
【针对训练】(1)(2017·石家庄高一检测)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
考点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
题点　利有二倍角公式求二倍角的正弦值
答案　A
解析　因为sin(π－α)＝，所以sin α＝，
又因为≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　综合应用二倍角公式化简求值
答案　
解析　因为α为锐角，cos＝>0，
所以α＋为锐角，sin＝，
则sin＝2sincos
＝2××＝.
又cos＝sin，所以cos＝.
类型三　利用二倍角公式化简证明
例3　(1)化简：.
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　利用二倍角公式化简三角函数式
解　方法一　原式＝
＝＝
＝tan θ.
方法二　原式＝
＝
＝＝tan θ.
(2)求证：·＝tan 2α.
考点　三角恒等式的证明
题点　三角恒等式的证明
证明　左边＝·＝tan 2α＝右边．
反思与感悟　三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．
(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．
(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．
(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．
(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
【针对训练】　α为第三象限角，则－＝________.
考点　应用二倍角公式化简求值
题点　利用二倍角公式化简三角函数式
答案　0
解析　∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴－
＝－
＝－＝0.
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