【同步讲义】人教新课标A版必修4 第三章 第4讲 简单的三角恒等变换（解析版）

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第四讲 简单的三角恒等变换
【学习目标】
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.
3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
【知识总结】一、升幂公式：，
降幂公式：，
要点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
【知识总结】二、辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．www.21-cn-jy.com
类型一　应用半角公式求值
例1　已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos和tan .
考点　利用简单的三角恒等变换化简求值
题点　利用半角公式化简求值
解　∵sin θ＝，且＜θ＜3π，∴cos θ＝－
＝－.
由cos θ＝2cos2－1，得cos2＝＝.
∵＜＜，∴cos ＝－ ＝－.
tan ＝＝2.
反思与感悟　利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时， ( http: / / www.21cnjy.com )常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
【针对训练】　已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan 的值为(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
考点　利用简单的三角恒等变换化简求值
题点　利用半角公式化简求值
答案　B
解析　∵3π<θ<，sin θ＝－，
∴cos θ＝－，tan ＝＝－3.
类型二　三角函数式的化简
例2　化简.
考点　利用简单的三角恒等变换化简求值
题点　利用半角公式化简求值
解　
＝
＝＝＝1.
反思与感悟　三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出值的 ( http: / / www.21cnjy.com )应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．21世纪教育网版权所有
(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降 ( http: / / www.21cnjy.com )次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．21cnjy.com
【针对训练】　设α∈，化简：.
考点　利用简单的三角恒等变换化简求值
题点　利用半角公式化简求值
解　∵α∈，∴cos α>0，cos <0，
故原式＝＝
＝＝＝－cos .
类型三　三角函数式的证明
例3　求证：＝.
考点　三角恒等式的证明
题点　三角恒等式的证明
证明　要证原式，可以证明＝.
∵左边＝
＝
＝＝tan 2θ，
右边＝＝tan 2θ，
∴左边＝右边，
∴原式得证．
反思与感悟　证明三角恒等式的实 ( http: / / www.21cnjy.com )质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．2·1·c·n·j·y
【针对训练】　求证：－tan θ·tan 2θ＝1.
考点　三角恒等式的证明
题点　三角恒等式的证明
证明　－tan θ·tan 2θ＝－
＝＝＝
＝＝1.
类型四　利用辅助角公式研究函数性质
例4　已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
考点　简单的三角恒等变换的综合应用
题点　辅助角公式与三角函数的综合应用
解　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin[2]＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为.
反思与感悟　(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．21教育网
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．21·cn·jy·com
【针对训练】　已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合．
考点　简单的三角恒等变换的综合应用
题点　辅助角公式与三角函数的综合应用
解　(1)f(x)＝·
＝cos2x－sin2x
＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的集合为.
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