【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第1讲 任意角和弧度制（解析版）

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第一讲　任意角和弧度制
一、任意角
【学习目标】
1.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．
知识点一　角的相关概念
思考1　用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？
答案　角的构成要素有始边、顶点、终边．
思考2　将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
答案　有顺时针和逆时针两种旋转方向．
梳理　(1)角的概念：角可以看成平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．21*cnjy*com
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型 定义
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
知识点二　象限角
思考　把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？21cnjy.com
答案　终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理　在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角．
知识点三　终边相同的角
思考1　假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？2·1·c·n·j·y
答案　它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．【来源：21·世纪·教育·网】
思考2　如何表示与60°终边相同的角？
答案　60°＋k·360°(k∈Z)．
梳理　终边相同角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
类型一　任意角概念的理解
例1　下列命题正确的是(　　)
A．第一象限角是锐角
B．钝角是第二象限角
C．终边相同的角一定相等
D．不相等的角，它们终边必不相同
考点　任意角的概念
题点　任意角的概念
答案　B
反思与感悟　解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　写出下列说法所表示的角．
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．
考点　任意角的概念
题点　任意角的概念
解　(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
类型二　象限角的判定
例2　(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
考点　象限角、轴线角
题点　象限角
答案　D
解析　－120°为第三象限角，①错 ( http: / / www.21cnjy.com )；－240°＝－360°＋120°，∵120°为第二象限角，∴－240°也为第二象限角，故②对；180°为轴线角；495°＝360°＋135°，∵135°为第二象限角，∴495°为第二象限角，故④对．故选D.21·世纪*教育网
(2)已知α为第三象限角，则是第几象限角？
考点　象限角、轴线角
题点　象限角
解　因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α所以k·180°＋90°<当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，
n·360°＋90°<所以终边在第二象限，
当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，
n·360°＋270°<所以终边在第四象限．
综上可知，是第二象限角或第四象限角．
反思与感悟　(1)判断象限角的步骤
①当0°≤α<360°时，直接写出结果；
②当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
(2)一般地，要确定所在的象限，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．21教育网
跟踪训练2　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
考点　象限角、轴线角
题点　象限角
解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3 ( http: / / www.21cnjy.com )×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．【出处：21教育名师】
类型三　终边相同的角
命题角度1　求与已知角终边相同的角
例3　在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)的角．
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k· ( http: / / www.21cnjy.com )360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.【版权所有：21教育】
(2)由0°＜k·360°＋10 030 ( http: / / www.21cnjy.com )°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.21*cnjy*com
(3)由360°≤k·360°＋ ( http: / / www.21cnjy.com )10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
跟踪训练3　写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
命题角度2　求终边在给定直线上的角的集合
例4　写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120° ( http: / / www.21cnjy.com )＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
反思与感悟　求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．
跟踪训练4　写出终边在直线y＝x上的角的集合．
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，21教育名师原创作品
即S＝{α|α＝30°＋2k· ( http: / / www.21cnjy.com )180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
二、弧度制
学习目标　
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
知识点一　角度制与弧度制
思考1　在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
答案　周角的等于1度．
思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？
答案　把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．
思考3　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
答案　“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
梳理　(1)角度制和弧度制
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
知识点二　角度制与弧度制的换算
思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
答案　利用1°＝ rad和1 rad＝°进行弧度与角度的换算．
梳理　(1)角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017_45 rad 1 rad＝°≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
知识点三　扇形的弧长及面积公式
思考　扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
答案　设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝ l＝αR
扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2
类型一　角度与弧度的互化
例1　将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
考点　弧度制
题点　角度与弧度的互化
解　(1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
反思与感悟　将角度转化为弧度时，要 ( http: / / www.21cnjy.com )把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可．21·cn·jy·com
跟踪训练1　(1)把下列角度化成弧度：
①－150°＝________；②2 100°＝________；
③11°15′＝________；④112°30′＝________.
(2)把下列弧度化成角度：
①＝________；②－＝________；
③＝________；④－＝________.
考点　弧度制
题点　角度与弧度的互化
答案　(1)①－　②π　③　④
(2)①30°　②－300°　③81°　④－75°
类型二　用弧度制表示终边相同的角
例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)；(3)－4.
考点　弧度制的应用
题点　弧度制的应用
解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．
(2)∵＝2π＋，
∴与终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
反思与感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2　(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．
考点　弧度制的应用
题点　弧度制的应用
解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝.
∴－1 480°＝＋2×(－5)π.
(2)∵＝×°＝72°，
∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.
类型三　扇形的弧长及面积公式的应用
例3　(1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为(　　)
A．π B. C. D.
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为(　　)
A．2 B. C．2sin 1 D.
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)扇形的中心角为120°＝，半径为，
所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π.
(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦 ( http: / / www.21cnjy.com )长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2×＝.www-2-1-cnjy-com
反思与感悟　联系半径、弧长和圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．2-1-c-n-j-y
跟踪训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用
解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
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