【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第7讲 正切函数的性质与图象（解析版）

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第七讲　正切函数的性质与图象
学习目标　
1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.
2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.
3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．
知识点一　正切函数的性质
思考1　正切函数的定义域是什么？
答案　.
思考2　诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
答案　 周期性．
思考3　诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
答案　 奇偶性．
思考4　从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？
答案　是．
梳理　函数y＝tan x的图象与性质见下表：
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇
单调性 在开区间(k∈Z)内都是增函数
知识点二　正切函数的图象
思考1　利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？
答案　根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间上的图象．作法如下：
(1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．
(2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．
(3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．
(4)连线，得到如图①所示的图象．
(5)根据正切函数的周期性，把上述图象 ( http: / / www.21cnjy.com )向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．21教育网
思考2　我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈的简图吗？怎样画？21世纪教育网版权所有
答案　能，三个关键点：，(0,0)，，两条平行线：x＝，x＝－.
梳理　(1)正切函数的图象
(2)正切函数的图象特征
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
1．函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　×　)
提示　y＝tan x在开区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数．
2．函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．(　×　)
提示　y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)．
3．正切函数y＝tan x无单调递减区间．(　√　)
4．正切函数在区间上单调递增．(　×　)
提示　正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x＝±时，y＝tan x无意义.
类型一　正切函数的定义域、值域问题
例1　(1)函数y＝3tan的定义域为________．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的定义域
答案　
解析　由－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为.
(2)求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的值域
解　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
设t＝tan，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，
所以原函数的值域是.
反思与感悟　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．21cnjy.com
(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解．
跟踪训练1　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的定义域
解　由题意得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
类型二　正切函数的单调性问题
命题角度1　求正切函数的单调区间
例2　求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
考点　正切函数的单调性
题点　判断正切函数的单调性
解　y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z，周期T＝＝2π.
反思与感悟　y＝tan(ωx ( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．21·cn·jy·com
跟踪训练2　求函数y＝3tan的单调区间．
考点　正切函数的单调性
题点　判断正切函数的单调性
解　y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，得
－＋所以y＝3tan的单调递减区间为(k∈Z)．
命题角度2　利用正切函数的单调性比较大小
例3　比较大小：
(1)tan 32°________tan 215°；
(2)tan________tan.
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数的单调性的应用
答案　(1)<　(2)<
解析　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，
∴tan 32°(2)tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
∵y＝tan x在上单调递增，且－<－，
∴tan反思与感悟　运用正切函数的单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
(2)运用单调性比较大小关系．
跟踪训练3　比较大小：tan_______tan.
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数的单调性的应用
答案　>
解析　∵tan＝－tan＝tan ，
tan＝－tan＝tan .
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
∴tan ＜tan ，∴tan＞tan.
类型三　正切函数综合问题
例4　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
考点　正切函数的综合应用
题点　正切函数的综合应用
解　(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
反思与感悟　熟练掌握正切 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z.
跟踪训练4　画出f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．
考点　正切函数的综合应用
题点　正切函数的综合应用
解　f(x)＝tan |x|化为f(x)＝
根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示，
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(k∈N)；单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…).www.21-cn-jy.com
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