【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第3讲 同角三角函数的基本关系（解析版）

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第三讲　同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.
2.理解同角三角函数的基本关系式.
3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．
知识点　同角三角函数的基本关系式
思考1　计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它．
答案　3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x.
∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.
思考2　由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案　∵tan α＝(x≠0)，∴tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)．
梳理　(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
②商数关系：tan α＝ .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
②tan α＝的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
类型一　利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1　已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1　(1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　同角三角函数的基本关系式
题点　同角三角函数的商数关系
答案　D
解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，
∴tan α＝＝－，故选D.
(2)已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则tan α的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
考点　同角三角函数的基本关系式
题点　同角三角函数的商数关系
答案　B
解析　∵sin α＋cos α＝，
等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝，
即sin αcos α＝－，
∴sin α，cos α是方程x2－x－＝0的两根，
又∵－<α<0，
∴sin α＝－，cos α＝，
∴tan α＝＝－.
反思与感悟　(1)同角三角函数的关系揭示了 ( http: / / www.21cnjy.com )同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．21教育网
(2)已知三角函数值之间的关系式 ( http: / / www.21cnjy.com )求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
跟踪训练1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
考点　运用基本关系式求三角函数值
题点　运用基本关系式求三角函数值
解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
命题角度2　已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
考点　运用基本关系式求三角函数值
题点　运用基本关系式求三角函数值
解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
反思与感悟　利用同角三角函数关系式求值时， ( http: / / www.21cnjy.com )若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．21cnjy.com
跟踪训练2　已知cos α＝，求sin α，tan α的值．
考点　运用基本关系式求三角函数值
题点　运用基本关系式求三角函数值
解　∵cos α＝>0且cos α≠1，
∴α是第一或第四象限角．
(1)当α是第一象限角时，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝.
(2)当α是第四象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝－.
类型二　齐次式求值问题
例3　已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
考点　运用基本关系式求三角函数值
题点　运用基本关系式求三角函数值
解　(1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
反思与感悟　(1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．www.21-cn-jy.com
(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为 ( http: / / www.21cnjy.com )1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．21·cn·jy·com
跟踪训练3　已知＝2，计算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
考点　运用基本关系式求三角函数值
题点　运用基本关系式求三角函数值
解　由＝2，化简，得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
类型三　三角函数式的化简与证明
例4　(1)化简：sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
考点　运用基本关系式化简和证明
题点　运用基本关系式化简
解　原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝.
(2)求证：＝.
考点　运用基本关系式化简和证明
题点　运用基本关系式证明
证明　∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
反思与感悟　(1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．21世纪教育网版权所有
(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练4　化简tan α ，其中α是第二象限角．
考点　运用基本关系式化简和证明
题点　运用基本关系式化简
解　因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α ＝tan α ＝tan α
＝＝·＝－1.
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