【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第9讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质（解析版）

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第九讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
学习目标　
1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.
3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
知识点一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
思考1　用“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？
答案　依次为0，，π，，2π.
思考2　用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
答案　用“五点法”作函数y＝Asin( ( http: / / www.21cnjy.com )ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－＋，－＋.
梳理　用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤
第一步：列表：
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
y 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心(k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
知识点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
1．函数y＝－2sin的振幅是－2.(　×　)
提示　振幅是2.
2．函数y＝sin的初相是.(　×　)
提示　初相是－.
3．函数y＝sin的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　√　)
提示　令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即f(x)的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.
类型一　用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例1　已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
考点　正弦函数的图象
题点　五点法作正弦函数图象
解　(1)列表：
x －
＋ 0 π 2π
f(x) 3 6 3 0 3
(2)描点画图：
反思与感悟　(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点．21教育网
(2)作给定区间上y＝Asi ( http: / / www.21cnjy.com )n(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1　已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图象．
考点　正弦函数的图象
题点　五点法作正弦函数图象
解　(1)∵x∈，∴2x－∈.
列表如下：
x － －π － π
2x－ －π －π － 0 π
f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2
(2)描点，连线，如图所示．
类型二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
考点　求三角函数的解析式
题点　根据三角函数的图象求解析式
解　方法一　(逐一定参法)
由图象知振幅A＝3，
又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，得φ＝，∴y＝3sin.
方法二　(待定系数法)
由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得21·cn·jy·com
∴y＝3sin.
方法三　(图象变换法)
由T＝π，点，A＝3可知，
图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，
∴y＝3sin，即y＝3sin.
反思与感悟　若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.2·1·c·n·j·y
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)【来源：21·世纪·教育·网】
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：21·世纪*教育网
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练2　(2018·牌头中学月考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象(部分)如图，则f(x)的解析式是(　　)21世纪教育网版权所有
A．f(x)＝2sin(x∈R)
B．f(x)＝2sin(x∈R)
C．f(x)＝2sin(x∈R)
D．f(x)＝2sin(x∈R)
考点　求三角函数的解析式
题点　根据三角函数的图象求解析式
答案　A
类型三　函数y＝Asin，|φ|<性质的应用
例3　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
考点　三角函数图象的综合应用
题点　三角函数图象的综合应用
解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，k∈Z，
令＋－＝，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(k∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是(k∈Z)．www-2-1-cnjy-com
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
反思与感悟　有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．21cnjy.com
跟踪训练3　已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0)．2-1-c-n-j-y
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6,0]上的值域．
考点　三角函数图象的综合应用
题点　三角函数图象的综合应用
解　(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16，即＝16，∴ω＝，
∴y＝sin.
又图象过最高点(2，)，∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin.
(2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在x∈[－6,0]上的值域为[－，1].
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