【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第4讲 三角函数的诱导公式（解析版）
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| 名称 | 【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第4讲 三角函数的诱导公式（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-19 18:07:02 | ||
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文档简介
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第四讲 三角函数的诱导公式
一、三角函数的诱导公式(一)
学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
知识点一 诱导公式二
设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．
思考 角π＋α的终边与角α的终边有什 ( http: / / www.21cnjy.com )么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？www-2-1-cnjy-com
答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式二
sinπ＋α＝－sin α，cosπ＋α＝－cos α，tanπ＋α＝tan α.
知识点二 诱导公式三
思考 角－α的终边与角α的终边有什么关系？ ( http: / / www.21cnjy.com )角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？21·cn·jy·com
答案 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式三
sin－α＝－sin α，cos－α＝cos α，tan－α＝－tan α.
知识点三 诱导公式四
思考 角π－α的终边与角α ( http: / / www.21cnjy.com )的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？2-1-c-n-j-y
答案 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式四
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
梳理 公式一～四都叫做诱导 ( http: / / www.21cnjy.com )公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是： 21教育网
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－ ( http: / / www.21cnjy.com )α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．21*cnjy*com
类型一 利用诱导公式求值
命题角度1 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值：
(1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(－1 920°)．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝.
(3)sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)方法一 cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
方法二 cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
命题角度2 给值求值或给值求角问题
例2 (1)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )
A．－ B．－ C. D.
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 D
解析 由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，
可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<，
即tan θ＝，|θ|<，∴θ＝.
(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2
＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
反思与感悟 (1)解决条件求值问题的策略
①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A．1 B．－1 C. D．－
考点 诱导公式二、三、四
题点 诱导公式二
答案 D
解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，
sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β)
＝－sin β＝－.
类型二 利用诱导公式化简
例3 化简下列各式：
(1)；
(2).
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
引申探究
若本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．
解 当n＝2k时，
原式＝＝－tan α；
当n＝2k＋1时，
原式＝＝－tan α.
反思与感悟 三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)；
(2).
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝
＝＝.
二、三角函数的诱导公式(二)
学习目标
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.21世纪教育网版权所有
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
知识点一 诱导公式五
完成下表，并由此总结角α，角－α的三角函数值间的关系．
(1)sin＝，cos＝，sin＝cos；
(2)sin＝，cos＝，sin＝cos；
(3)sin＝，cos＝，sin＝cos.
由此可得
诱导公式五
sin＝cos α，cos＝sin α，
知识点二 诱导公式六
思考 能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？
答案 以－α代替公式五中的α得到
sin＝cos(－α)，
cos＝sin(－α)．
由此可得
诱导公式六
sin＝cos α，cos＝－sinα．
知识点三 诱导公式的推广与规律
1．sin＝－cos α，cos＝－sin α，
sin＝－cos α，cos＝sin α.
2．诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z ( http: / / www.21cnjy.com ))，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．【来源：21·世纪·教育·网】
公式五～六归纳：±α的正弦( ( http: / / www.21cnjy.com )余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、 ( http: / / www.21cnjy.com )偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．2·1·c·n·j·y
类型一 利用诱导公式求值
例1 已知cos＝，≤α≤，求sin的值．
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式六
解 ∵α＋＝＋，
∴sin＝sin＝cos＝.
反思与感悟 对于这类问题，关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．21·世纪*教育网
跟踪训练1 已知sin＝，求cos的值．
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式五
解 ∵＋α＋－α＝，
∴－α＝－.
∴cos＝cos
＝sin＝.
类型二 利用诱导公式证明三角恒等式
例2 求证：＝－tan α.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式证明
证明 ∵左边＝
＝
＝
＝＝－
＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
跟踪训练2 (2017·佳木斯检测)求证：＝.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式证明
证明 右边＝
＝
＝
＝
＝＝＝左边，
所以原等式成立．
类型三 诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
解 (1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．21cnjy.com
跟踪训练3 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求
·tan2(π－α)的值．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
解 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α
＝－＝－.
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第四讲 三角函数的诱导公式
一、三角函数的诱导公式(一)
学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
知识点一 诱导公式二
设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．
思考 角π＋α的终边与角α的终边有什 ( http: / / www.21cnjy.com )么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？www-2-1-cnjy-com
答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式二
sinπ＋α＝－sin α，cosπ＋α＝－cos α，tanπ＋α＝tan α.
知识点二 诱导公式三
思考 角－α的终边与角α的终边有什么关系？ ( http: / / www.21cnjy.com )角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？21·cn·jy·com
答案 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式三
sin－α＝－sin α，cos－α＝cos α，tan－α＝－tan α.
知识点三 诱导公式四
思考 角π－α的终边与角α ( http: / / www.21cnjy.com )的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？2-1-c-n-j-y
答案 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式四
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
梳理 公式一～四都叫做诱导 ( http: / / www.21cnjy.com )公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是： 21教育网
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－ ( http: / / www.21cnjy.com )α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．21*cnjy*com
类型一 利用诱导公式求值
命题角度1 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值：
(1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(－1 920°)．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝.
(3)sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)方法一 cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
方法二 cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
命题角度2 给值求值或给值求角问题
例2 (1)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )
A．－ B．－ C. D.
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 D
解析 由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，
可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<，
即tan θ＝，|θ|<，∴θ＝.
(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2
＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
反思与感悟 (1)解决条件求值问题的策略
①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A．1 B．－1 C. D．－
考点 诱导公式二、三、四
题点 诱导公式二
答案 D
解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，
sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β)
＝－sin β＝－.
类型二 利用诱导公式化简
例3 化简下列各式：
(1)；
(2).
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
引申探究
若本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．
解 当n＝2k时，
原式＝＝－tan α；
当n＝2k＋1时，
原式＝＝－tan α.
反思与感悟 三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练3 化简下列各式：
(1)；
(2).
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝
＝＝.
二、三角函数的诱导公式(二)
学习目标
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.21世纪教育网版权所有
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
知识点一 诱导公式五
完成下表，并由此总结角α，角－α的三角函数值间的关系．
(1)sin＝，cos＝，sin＝cos；
(2)sin＝，cos＝，sin＝cos；
(3)sin＝，cos＝，sin＝cos.
由此可得
诱导公式五
sin＝cos α，cos＝sin α，
知识点二 诱导公式六
思考 能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？
答案 以－α代替公式五中的α得到
sin＝cos(－α)，
cos＝sin(－α)．
由此可得
诱导公式六
sin＝cos α，cos＝－sinα．
知识点三 诱导公式的推广与规律
1．sin＝－cos α，cos＝－sin α，
sin＝－cos α，cos＝sin α.
2．诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z ( http: / / www.21cnjy.com ))，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．【来源：21·世纪·教育·网】
公式五～六归纳：±α的正弦( ( http: / / www.21cnjy.com )余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、 ( http: / / www.21cnjy.com )偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．2·1·c·n·j·y
类型一 利用诱导公式求值
例1 已知cos＝，≤α≤，求sin的值．
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式六
解 ∵α＋＝＋，
∴sin＝sin＝cos＝.
反思与感悟 对于这类问题，关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．21·世纪*教育网
跟踪训练1 已知sin＝，求cos的值．
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式五
解 ∵＋α＋－α＝，
∴－α＝－.
∴cos＝cos
＝sin＝.
类型二 利用诱导公式证明三角恒等式
例2 求证：＝－tan α.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式证明
证明 ∵左边＝
＝
＝
＝＝－
＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
跟踪训练2 (2017·佳木斯检测)求证：＝.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式证明
证明 右边＝
＝
＝
＝
＝＝＝左边，
所以原等式成立．
类型三 诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
解 (1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．21cnjy.com
跟踪训练3 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求
·tan2(π－α)的值．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
解 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α
＝－＝－.
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