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第十讲 三角函数模型的简单应用
1．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的( )
A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s
C．周期为6 s D．频率为6 Hz
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 B
解析 振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s.
2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为( )
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 B
解析 当t＝时，I＝5sin
＝5sin＝5cos ＝＝2.5(A)．
3．一根长l cm的线，一 ( http: / / www.21cnjy.com )端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案
解析 ∵T＝＝1，∴ ＝2π，∴l＝.
4．下图表示相对于平均海 ( http: / / www.21cnjy.com )平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________．21·cn·jy·com
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在航海、气象学中的应用
答案 h＝－6sin t，t∈[0,24]
解析 根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，
则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝.
点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，
∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，
∴h＝6sin＝－6sin t，t∈[0,24]．
5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0,24)．www.21-cn-jy.com
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在日常生活中的应用
解 (1)因为f(t)＝10－2sin，
又0≤t<24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此即10故在10时至18时实验室需要降温．
解三角函数应用问题的基本步骤
一、选择题
1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离 ( http: / / www.21cnjy.com )开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )【版权所有：21教育】
A. s B. s C．50 s D．100 s
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 A
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变 ( http: / / www.21cnjy.com )化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )www-2-1-cnjy-com
A．5 B．6 C．8 D．10
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在航海、气象学中的应用
答案 C
解析 由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
3．弹簧上挂的小球做上下振动， ( http: / / www.21cnjy.com )它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2sin.给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方 cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处；③经过2π s小球重复振动一次．其中正确的说法是( )21世纪教育网版权所有
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 D
解析 当t＝0时，s＝2sin＝，故①正确；smin＝－2，故②正确；函数的最小正周期T＝2π，故③正确．21*cnjy*com
4．如图所示为2018年某市某天中6 ( http: / / www.21cnjy.com )h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为( )
A．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在航海、气象学中的应用
答案 D
解析 由题意得A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，
∴y＝10sin＋20，
将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，
即sin＝－1，
由于<φ<π，可得φ＝，
∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，
即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
5.一观览车的主架示意图如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于( )21教育网
A．30sin＋30 B．30sin＋30
C．30sin＋32 D．30sin
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在日常生活中的应用
答案 B
解析 过点O作地面的平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )作为x轴，过点O作x轴的垂线作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是＝，所以t分钟转过的弧度数为t.
设θ＝t，当θ>时，∠BON＝θ－，
h＝OA＋BN＝30＋30sin，
当0<θ<时，上述关系式也适合．
故h＝30＋30sin＝30sin＋30.
6．如图所示，有一广告气球，直径为6 c ( http: / / www.21cnjy.com )m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin θ≈θ，试估算气球的高BC的值约为( )
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在航海、气象学中的应用
答案 B
解析 AC＝＝≈×180≈172(m)，
又∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝86 m.
7．设y＝f(t)是某港口水的深度y( ( http: / / www.21cnjy.com )m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系：21cnjy.com
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观测，函数y＝f(x)的图象可 ( http: / / www.21cnjy.com )以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在航海、气象学中的应用
答案 A
解析 由已知数据，可得y＝f(t)的周期T＝12，
所以ω＝＝.
由已知可得振幅A＝3，k＝12.
又当t＝0时，y＝12，所以令×0＋φ＝0得φ＝0，
故y＝12＋3sin t，t∈[0,24]．
二、填空题
8．设某人的血压满足函数式p(t)＝11 ( http: / / www.21cnjy.com )5＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．21·世纪*教育网
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在日常生活中的应用
答案 80
解析 T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
9．已知某种交流电电流I(A) ( http: / / www.21cnjy.com )随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为________．2-1-c-n-j-y
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 25
解析 因为f＝＝＝＝50，
所以0.5 s内往复运动的次数为0.5×50＝25.
10．如图所示，弹簧下挂着的小球做 ( http: / / www.21cnjy.com )上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是________．【出处：21教育名师】
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 y＝4sin
解析 不妨设y＝Asin(ωx＋φ)．
由题意知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2.
当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，
所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，
故所求关系式可以为y＝4sin.
11.一个单摆的平面图如图．设小 ( http: / / www.21cnjy.com )球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asin，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________．
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 α＝sin，t∈[0，＋∞)
解析 ∵当t＝0时，α＝，
∴＝Asin，∴A＝.
又∵周期T＝π，∴＝π，解得ω＝2.
故所求的函数解析式是α＝sin，t∈[0，＋∞)．
三、解答题
12.如图，一个水轮的半径为4 m ( http: / / www.21cnjy.com )，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在日常生活中的应用
解 (1)如图所示建立平面直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝，
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝20，
故点P第一次到达最高点大约需要20 s.
13．据市场调查，某种商品一年内每月的 ( http: / / www.21cnjy.com )价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在日常生活中的应用
解 (1)由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，
∴ω＝＝.
又∴
即f(x)＝2sin＋7.(*)
又f(x)过点(3,9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
(2)令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴＋2kπ可得＋8k又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2,3,4,10,11,12.
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．
四、探究与拓展
14．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．5 B．6 C．7 D．8
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 C
15．某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24)(h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某天各时的浪高数据：21教育名师原创作品
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系；
(2)依据规定，当海浪高度不少于1 ( http: / / www.21cnjy.com ) m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h至20 h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？21*cnjy*com
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在航海、气象学中的应用
解 (1)以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：
依据散点图，可以选用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系．2·1·c·n·j·y
从表中数据和散点图，可知A＝＝，T＝12，
所以＝12，得ω＝.
又h＝＝1，于是y＝sin＋1.
由图，知×0＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|≤，所以φ＝，
从而y＝sin＋1，
即y＝cos t＋1(0≤t≤24)．
(2)由题意，可知y≥1，
所以cos t＋1≥1，即cos t≥0，
所以2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
即12k－3≤t≤12k＋3(k∈Z)．
又0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24.
故一天内的8 h至20 h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9 h至15 h．
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1．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的( )
A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s
C．周期为6 s D．频率为6 Hz
2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为( )
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂 ( http: / / www.21cnjy.com )一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.
4．下图表示相对于平均海平面的某 ( http: / / www.21cnjy.com )海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________．21教育网
5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0,24)．21cnjy.com
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
一、选择题
1.如图所示，单摆从某点开 ( http: / / www.21cnjy.com )始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )21·cn·jy·com
A. s B. s C．50 s D．100 s
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化 ( http: / / www.21cnjy.com )曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )21·世纪*教育网
A．5 B．6 C．8 D．10
3．弹簧上挂的小球做上下振动，它在 ( http: / / www.21cnjy.com )时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2sin.给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方 cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处；③经过2π s小球重复振动一次．其中正确的说法是( )www-2-1-cnjy-com
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．如图所示为2018年某市某天中6 h至 ( http: / / www.21cnjy.com )14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为( )2-1-c-n-j-y
A．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃
5.一观览车的主架示意图如图所示，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于( )21*cnjy*com
A．30sin＋30 B．30sin＋30
C．30sin＋32 D．30sin
6．如图所示，有一广告气球，直径为6 cm ( http: / / www.21cnjy.com )，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin θ≈θ，试估算气球的高BC的值约为( )
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
7．设y＝f(t)是某港口 ( http: / / www.21cnjy.com )水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系：【来源：21cnj*y.co*m】
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观测，函数y＝f(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )【出处：21教育名师】
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
二、填空题
8．设某人的血压满足函数式p(t ( http: / / www.21cnjy.com ))＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．【版权所有：21教育】
9．已知某种交流电电流I(A ( http: / / www.21cnjy.com ))随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为________．2·1·c·n·j·y
10．如图所示，弹簧下挂着的小球做上下 ( http: / / www.21cnjy.com )振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是________．21教育名师原创作品
11.一个单摆的平面图如图．设小 ( http: / / www.21cnjy.com )球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asin，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________．21*cnjy*com
三、解答题
12.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
13．据市场调查，某种商品一年内每 ( http: / / www.21cnjy.com )月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
四、探究与拓展
14．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )www.21-cn-jy.com
A．5 B．6 C．7 D．8
15．某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24)(h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某天各时的浪高数据：【来源：21·世纪·教育·网】
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系；
(2)依据规定，当海浪高度不少于1 m ( http: / / www.21cnjy.com )时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h至20 h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？21世纪教育网版权所有
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