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第一讲 任意角和弧度制
任意角
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α( )
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．既是第三象限角又是第四象限角
D．不属于任何一个象限
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120° B．－120°
C．240° D．－240°
3．若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：
①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．21世纪教育网版权所有
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
5．若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称，且0°<α<360°，则角α的值为________．
7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.
8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
11．若角α与65°角的终边相同，角β与－115°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
12．如图所示，终边落在直线y＝x上的角的集合为________．
13．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
14．已知α是第四象限角，则2α，各是第几象限角？
弧度制
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．1 920°的角化为弧度数为( )
A. B.
C.π D.π
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列四个角：1,60°，，－由大到小的排列为________．
7．若三角形三内角之比为3?4?5，则三内角的弧度数分别是________．
8．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
10．如图，扇形AOB所在圆的半径为10，AB＝10.求：
(1)圆心角α的大小；
(2)扇形AOB的周长．
11．集合中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是( )
12．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
13．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；
(2)求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈.
14．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[学业达标]
一、选择题
1．－的角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
3．圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )
A. cm2 B. cm2
C．π cm2 D．3π cm2
4．下列说法不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
5．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
二、填空题
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π)的形式是________．
7．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________ rad，扇形面积是________. 21教育网
三、解答题
8．已知α＝2 000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π)的形式；
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．
9．已知一个扇形的周长是40，
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值．
[能力提升]
1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C．2sin 1 D.
2．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
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第一讲 任意角和弧度制
任意角
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α( )
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．既是第三象限角又是第四象限角
D．不属于任何一个象限
解析：∵点M(0，－3)在y轴负半轴上，∴角α不属于任何一个象限．
答案：D
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120° B．－120°
C．240° D．－240°
解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
答案：D
3．若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：
①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．21·cn·jy·com
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：0°角是轴线角而不是象限角，①不正确； ( http: / / www.21cnjy.com )②显然正确；终边相同的角有无限多个，并且相差360°的整数倍，所以③正确；－30°角是第四象限角，故④正确．2·1·c·n·j·y
答案：C
4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.
答案：C
5．若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)
解析：α与β的终边关于y轴对称，则α与180°－β终边相同，故α＝180°－β＋360°·k，即α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.21cnjy.com
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称，且0°<α<360°，则角α的值为________．
解析：如图，设75°角的终边为 ( http: / / www.21cnjy.com )射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又0°<α<360°，令k＝1，得α＝285°.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：285°
7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.
解析：由条件知，2α＝α＋k·360°，
所以α＝k·360°(k∈Z)，
因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.
答案：0
8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
解析：(1)549°＝189°＋3 ( http: / / www.21cnjy.com )60°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．21·世纪*教育网
(2)－60°＝300°－3 ( http: / / www.21cnjy.com )60°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．21*cnjy*com
(3)－503°36′＝216°24′－2× ( http: / / www.21cnjy.com )360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．【来源：21cnj*y.co*m】
10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集 ( http: / / www.21cnjy.com )合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，【版权所有：21教育】
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z} ( http: / / www.21cnjy.com )∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)终边落在直线ON上的角的集合为
C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
11．若角α与65°角的终边相同，角β与－115°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
解析：由题意可知，α＝k1·3 ( http: / / www.21cnjy.com )60°＋65°(k1∈Z)，β＝k2·360°－115°(k2∈Z)，所以α－β＝(k1－k2)·360°＋180°，记k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．www-2-1-cnjy-com
答案：D
12．如图所示，终边落在直线y＝x上的角的集合为________．
解析：终边落在射线y＝x(x>0)上的角的 ( http: / / www.21cnjy.com )集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．www.21-cn-jy.com
答案：{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}
13．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解析：(1)因为－1 910°÷360°＝－6余250°，
所以－1 910°＝－6×360°＋250°.
(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
因为－720°≤θ<0°，
所以－720°≤250°＋k·360°<0°，
即－≤k<－，
因为k∈Z，所以k＝－1或－2.
即250°＋(－1)·360°＝－110°，250°＋(－2)·360°＝－470°.
14．已知α是第四象限角，则2α，各是第几象限角？
解析：由题意知k·360°＋270°<α因此2k·360°＋540°<2α<2k·360°＋720°(k∈Z)，
即(2k＋1)360°＋180°<2α<(2k＋1)360°＋360°(k∈Z)，
故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
又k·180°＋135°<当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则n·360°＋135°<当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则n·360°＋315°<因此是第二象限角或第四象限角．
弧度制
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．1 920°的角化为弧度数为( )
A. B.
C.π D.π
解析：∵1°＝rad，
∴1 920°＝1 920×rad＝π rad.
答案：D
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得，解得θ＝3，故选C.
答案：C
3．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：－3π的终边在x轴的非正半轴上，－π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
答案：C
4．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
解析：A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．
－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.
答案：C
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：如右图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.21教育网
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列四个角：1,60°，，－由大到小的排列为________．
解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×＝，所以四个角为1，，，－.所以60°＝>1>－.2-1-c-n-j-y
答案：60°＝>1>－
7．若三角形三内角之比为3?4?5，则三内角的弧度数分别是________．
解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝，所以3k＝，4k＝，5k＝.【出处：21教育名师】
答案：，，
8．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析：135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，
面积为×3π×4＝6π.
答案：4 6π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解析：(1)20°＝π＝.
(2)－15°＝－π＝－.
(3)＝(×)°＝(×180)°＝105°.
(4)－＝(－×)°＝(－×180)°＝－396°.
10．如图，扇形AOB所在圆的半径为10，AB＝10.求：
(1)圆心角α的大小；
(2)扇形AOB的周长．
解析：(1)由半径r＝10，AB＝10，知△AOB为等边三角形，
所以α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)知弧长l＝αr＝×10＝，
所以扇形AOB的周长为2r＋l＝20＋.
11．集合中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是( )
解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，故选C.21教育名师原创作品
答案：C
12．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析：由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，
则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案：
13．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；
(2)求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解析：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，又280°＝，∴α＝＋(－3)×2π，∴α与的终边相同，∴角α的终边在第四象限．21*cnjy*com
(2)∵与α角终边相同的角可以表示为2kπ＋α，k∈Z，又α与的终边相同，
∴γ∈.
又∵γ∈，∴－<2kπ＋<，易知当且仅当k＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋＝－.
14．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S，则α＝60°＝，
R＝10 cm，l＝×10＝(cm)，
S＝S扇－S△＝××10－×102＝cm2.
(2)设扇形的弧长为l，
则l＋2R＝20，即l＝20－2R(0∴扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.
∴当R＝5 cm时，S有最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝＝2 rad.
因此，当α＝2 rad时，这个扇形的面积最大．
[学业达标]
一、选择题
1．－的角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解析】 因为－＝－－4π，
所以－与－的终边相同，为第四象限的角．
【答案】 D
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
【解析】 分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是：－4π－×2π＝－π.
【答案】 B
3．圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )
A. cm2 B. cm2
C．π cm2 D．3π cm2
【解析】 15°＝，则S＝|α|r2＝××62＝(cm2)．
【答案】 B
4．下列说法不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关．
【答案】 D
5．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
【解析】 k为偶数时，集合 ( http: / / www.21cnjy.com )对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π)的形式是________．
【解析】 法一：－570°＝－rad
＝－π rad，∴－π＝－4π＋π.
法二：－570°＝－2×360°＋150°，
∴－570°＝－4π＋π.
【答案】 －4π＋π
7．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________ rad，扇形面积是________. 21世纪教育网版权所有
【解析】 由题意知r＝2，l＋2r＝πr，∴l＝(π－2)r，
∴圆心角α＝＝＝π－2(rad)，
扇形面积S＝lr＝×(π－2)·r·r＝2(π－2)．
【答案】 π－2 2(π－2)
三、解答题
8．已知α＝2 000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π)的形式；
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．
【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.
(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z，
又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋π＝.
9．已知一个扇形的周长是40，
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值．
【解】 (1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则由题意得解得则α＝＝2(rad)．
故扇形的圆心角为2 rad.
(2)由l＋2r＝40，得l＝40－2r，
故S＝lr＝(40－2r)·r
＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，
故r＝10时，扇形面积S取最大值100.
[能力提升]
1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C．2sin 1 D.
【解析】 设圆的半径为R，则sin 1＝，∴R＝，故所求弧长为l＝α·R＝2·＝.
【答案】 D
2．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 【导学号：70512004】
【解】 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25.
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