【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第2讲 任意角的三角函数（解析版）
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| 名称 | 【同步讲义】人教新课标A版必修4 第一章 第2讲 任意角的三角函数（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-19 18:06:27 | ||
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文档简介
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第二讲 任意角的三角函数
二、任意角的三角函数(一)
【学习目标】
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.www.21-cn-jy.com
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案 sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．21·世纪*教育网
思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
答案 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
梳理 (1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin_α，
即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝ (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故 ( http: / / www.21cnjy.com )正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．【版权所有：21教育】
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案 由三角函数定义可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．21教育名师原创作品
梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 诱导公式一
思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．
梳理 诱导公式一
sinα＋k·2π＝sin α，cosα＋k·2π＝cos α，tanα＋k·2π＝tan α，其中k∈Z.
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x， ( http: / / www.21cnjy.com )y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2-1-c-n-j-y
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.21*cnjy*com
跟踪训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－或.
类型二 三角函数值符号的判断
例3 判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
(2)∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
反思与感悟 角的三角函数值的符号由 ( http: / / www.21cnjy.com )角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
跟踪训练3 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 二
解析 由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角．
类型三 诱导公式一的应用
例4 求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
解 (1)原式＝sin(－4×3 ( http: / / www.21cnjy.com )60°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.21cnjy.com
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．21*cnjy*com
跟踪训练4 求下列各式的值：
(1)cos ＋tan；
(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
解 (1)原式＝cos＋tan
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(90°＋2×360° ( http: / / www.21cnjy.com ))＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
二、任意角的三角函数(二)
学习目标
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一 三角函数的定义域
思考 正切函数y＝tan x为什么规定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z
答案 当x＝kπ＋，k∈Z时， ( http: / / www.21cnjy.com )角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为无意义，因而x的正切值不存在．所以对正切函数y＝tan x，必须要求x∈R且x≠kπ＋，k∈Z.2·1·c·n·j·y
梳理 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是.
知识点二 三角函数线
思考1 在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
答案 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．
思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
梳理
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线 有向线段OM即为余弦线
正切线 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线
类型一 三角函数线
例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线．
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
解 如图所示，
sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT.
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.www-2-1-cnjy-com
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
解 已知角α的正弦值，可知P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为.
类型二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
解 如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，
∴sin>sin；
|OM|<|OM′|，符号皆负，
∴cos>cos；
|AT|>|AT′|，符号皆负，
∴tan反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．21·cn·jy·com
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2.
∵|M1P1|>|M2P2|，且符号皆正，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
类型三 利用三角函数线解不等式(组)
命题角度1 利用三角函数线解不等式组
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两 ( http: / / www.21cnjy.com )点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．【来源：21cnj*y.co*m】
故满足要求的角α的集合为.
(2)作直线x＝－交单位圆于C， ( http: / / www.21cnjy.com )D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．【出处：21教育名师】
故满足条件的角α的集合为.
反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练3 已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即.
命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域
例4 求函数y＝lg＋的定义域．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
反思与感悟 (1)求函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．21世纪教育网版权所有
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．21教育网
跟踪训练4 求函数f(x)＝的定义域．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0，
则sin x≥.
如图，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，
交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，
分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，
易知这两条正弦线的长度都等于.
在[0,2π)内，sin＝sin＝.
因为sin x≥，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，
所以函数f(x)的定义域为.
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第二讲 任意角的三角函数
二、任意角的三角函数(一)
【学习目标】
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.www.21-cn-jy.com
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案 sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．21·世纪*教育网
思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
答案 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
梳理 (1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin_α，
即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝ (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故 ( http: / / www.21cnjy.com )正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．【版权所有：21教育】
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案 由三角函数定义可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．21教育名师原创作品
梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 诱导公式一
思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．
梳理 诱导公式一
sinα＋k·2π＝sin α，cosα＋k·2π＝cos α，tanα＋k·2π＝tan α，其中k∈Z.
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x， ( http: / / www.21cnjy.com )y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2-1-c-n-j-y
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.21*cnjy*com
跟踪训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－或.
类型二 三角函数值符号的判断
例3 判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
(2)∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
反思与感悟 角的三角函数值的符号由 ( http: / / www.21cnjy.com )角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
跟踪训练3 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 二
解析 由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角．
类型三 诱导公式一的应用
例4 求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
解 (1)原式＝sin(－4×3 ( http: / / www.21cnjy.com )60°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.21cnjy.com
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．21*cnjy*com
跟踪训练4 求下列各式的值：
(1)cos ＋tan；
(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
解 (1)原式＝cos＋tan
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(90°＋2×360° ( http: / / www.21cnjy.com ))＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
二、任意角的三角函数(二)
学习目标
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一 三角函数的定义域
思考 正切函数y＝tan x为什么规定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z
答案 当x＝kπ＋，k∈Z时， ( http: / / www.21cnjy.com )角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为无意义，因而x的正切值不存在．所以对正切函数y＝tan x，必须要求x∈R且x≠kπ＋，k∈Z.2·1·c·n·j·y
梳理 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是.
知识点二 三角函数线
思考1 在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
答案 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．
思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
梳理
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线 有向线段OM即为余弦线
正切线 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线
类型一 三角函数线
例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线．
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
解 如图所示，
sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT.
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.www-2-1-cnjy-com
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
解 已知角α的正弦值，可知P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为.
类型二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
解 如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，
∴sin>sin；
|OM|<|OM′|，符号皆负，
∴cos>cos；
|AT|>|AT′|，符号皆负，
∴tan
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2.
∵|M1P1|>|M2P2|，且符号皆正，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
类型三 利用三角函数线解不等式(组)
命题角度1 利用三角函数线解不等式组
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两 ( http: / / www.21cnjy.com )点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．【来源：21cnj*y.co*m】
故满足要求的角α的集合为.
(2)作直线x＝－交单位圆于C， ( http: / / www.21cnjy.com )D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．【出处：21教育名师】
故满足条件的角α的集合为.
反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练3 已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即.
命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域
例4 求函数y＝lg＋的定义域．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
反思与感悟 (1)求函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．21世纪教育网版权所有
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．21教育网
跟踪训练4 求函数f(x)＝的定义域．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0，
则sin x≥.
如图，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，
交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，
分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，
易知这两条正弦线的长度都等于.
在[0,2π)内，sin＝sin＝.
因为sin x≥，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，
所以函数f(x)的定义域为.
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