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第七讲 正切函数的性质与图象
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
考点 正切函数的单调性
题点 判断正切函数的单调性
答案 C
2．函数y＝tan x＋是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
考点 正切函数的周期性、对称性
题点 正切函数的奇偶性
答案 A
解析 函数的定义域是，且tan(－x)＋＝－tan x－＝－，所以函数y＝tan x＋是奇函数．21cnjy.com
3．(2017·绍兴柯桥区期末)函数y＝3tan的最小正周期是( )
A. B.
C. D．5π
考点 正切函数的单调性
题点 正切函数单调性的应用
答案 A
4．将tan 1，tan 2，tan 3按大小顺序排列为________．(用“<”连接)
考点 正切函数的周期性、对称性
题点 正切函数的周期性
答案 tan 25．函数y＝tan x的值域是________________．
考点 正切函数的定义域、值域
题点 正切函数的值域
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 函数y＝tan x在上单调递增，在上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．www.21-cn-jy.com
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2·1·c·n·j·y
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.
一、选择题
1．函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0) B. C. D．(π，0)
考点 正切函数的周期性、对称性
题点 正切函数的对称性
答案 C
2．函数f(x)＝2tan(－x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
考点 正切函数的周期性、对称性
题点 正切函数的奇偶性
答案 A
解析 因为f(－x)＝2tan ( http: / / www.21cnjy.com )x＝－2tan(－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)＝2tan(－x)是奇函数．【来源：21·世纪·教育·网】
3．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
考点 正切函数的单调性
题点 正切函数单调性的应用
答案 B
解析 ∵y＝tan ωx在内是减函数，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.
4．下列各点中，不是函数y＝tan的图象的对称中心的是( )
A. B.
C. D.
考点 正切函数的周期性、对称性
题点 正切函数的对称性
答案 C
解析 令－2x＝，k∈Z，得x＝－.
令k＝0，得x＝；
令k＝1，得x＝－；
令k＝2，得x＝－.故选C.
5．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
考点 正切函数的周期性、对称性
题点 正切函数的周期性
答案 A
解析 由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
考点 正切函数的图象
题点 正切函数的图象
答案 D
解析 当当x＝π时，y＝0；
当πsin x，y＝2sin x<0.故选D.
7．(2017·舟山模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
考点 正切函数的综合应用
题点 正切函数的综合应用
答案 D
解析 函数f(x)的周期为2π，A错；f(x)的值域为[0，＋∞)，B错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴x＝不是f(x)的对称轴，C错；
令kπ－可得2kπ－∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，D正确．
二、填空题
8．函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为2π，则f＝________.
考点 正切函数的周期性、对称性
题点 正切函数的周期性
答案 1
解析 由已知＝2π，所以ω＝，
所以f(x)＝tan，
所以f＝tan＝tan ＝1.
9．比较大小：tan________tan .
考点 正切函数的单调性
题点 正切函数单调性的应用
答案 <
解析 tan＝tan ，tan＝tan ，
又y＝tan x在内单调递增，
所以tan 即tan 10．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
考点 正切函数的定义域、值域
题点 正切函数的值域
答案 [－4,4]
解析 ∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
11．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：
①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；
④>0；⑤f>.
当f(x)＝tan x时，正确结论的序号为________．
考点 正切函数的综合应用
题点 正切函数的综合应用
答案 ①④
解析 由于f(x)＝tan ( http: / / www.21cnjy.com ) x的周期为π，故①正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故②不正确；f(0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故④正确；⑤由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有f>，在区间上有f<，故⑤不正确．21世纪教育网版权所有
三、解答题
12．判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
考点 正切函数的周期性、对称性
题点 正切函数的奇偶性
解 由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为∪(k∈Z)，关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
13．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
考点 正切函数的综合应用
题点 正切函数的综合应用
解 由y＝|tan x|，得
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
四、探究与拓展
14．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？
考点 正切函数的图象
题点 正切函数的图象
解 因为当x∈时，tan x>x>sin x，
所以当x∈时，y＝sin x与y＝tan x没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图象如图所示，21教育网
观察图象可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]上有3个交点．
15．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．21·cn·jy·com
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
考点 正切函数的综合应用
题点 正切函数的综合应用
解 (1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即＝.
因为ω>0，所以ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x即－＋所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
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第七讲 正切函数的性质与图象
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
2．函数y＝tan x＋是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
3．(2017·绍兴柯桥区期末)函数y＝3tan的最小正周期是( )
A. B.
C. D．5π
4．将tan 1，tan 2，tan 3按大小顺序排列为________．(用“<”连接)
5．函数y＝tan x的值域是________________．
一、选择题
1．函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0) B. C. D．(π，0)
2．函数f(x)＝2tan(－x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
3．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
4．下列各点中，不是函数y＝tan的图象的对称中心的是( )
A. B.
C. D.
5．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
7．(2017·舟山模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
二、填空题
8．函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为2π，则f＝________.
9．比较大小：tan________tan .
10．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
11．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：
①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；
④>0；⑤f>.
当f(x)＝tan x时，正确结论的序号为________．
三、解答题
12．判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
13．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
四、探究与拓展
14．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？
15．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．21世纪教育网版权所有
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
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