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第四讲 三角函数的诱导公式
诱导公式(一)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．tan＝( )
A．－ B.
C．－ D.
2．下列式子中正确的是( )
A．sin(π－α)＝－sinα
B．cos(π＋α)＝cosα
C．cosα＝sinα
D．sin(2π＋α)＝sinα
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．±
C. D．－
4．cos(k∈Z)的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
5．给出下列各函数值：
①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求值：(1)cos＝________；(2)tan(－225°)＝________.
7．若sin(－α)＝，α∈，则cos(π＋α)＝________.
8．已知a＝tan，b＝cosπ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各三角函数值：
(1)sin；(2)cos；(3)tan(－855°)．
10．若cosα＝，α是第四象限角，求
的值．
11．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2017)＝3，则f(2018)的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
12.＝________.
13．求下列三角函数值．
(1)tanπ＋cos(－1 650°)＋sinπ；
(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°.
14．化简：
(1)；
(2).
诱导公式(二)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
3．下列式子与sin相等的是( )
A．sin B．cos
C．cos D．sin
4．已知tanθ＝2，则等于( )
A．2 B．－2
C．0 D.
5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－m B．－m
C.m D.m
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．sin95°＋cos175°的值为________．
7．如果cosα＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
8．已知cosα＝，则sin·costan(π－α)＝________.
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知cos＝，求下列各式的值：
(1)sin；(2)sin
10．化简：
(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
11．已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，
则cos(30°－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
12．已知f(α)＝，
则f的值为________．
13．求证：对任意的整数k，
＝－1.
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0， ( http: / / www.21cnjy.com )π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
[学业达标]
一、选择题
1．设sin 160°＝a，则cos 340°的值是( )
A．1－a2 B.
C．－ D．±
2．已知α∈，tan α＝－，则sin(α＋π)＝( )
A. B．－
C. D．－
3．已知sin＝，则cos等于( )
A．－ B.
C. D．－
4．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B.
C．－1 D．1
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
二、填空题
6．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为________．
7．下列三角函数：①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin(n∈Z)．
其中与sin 数值相同的是________．(填序号)
三、解答题
8．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．21教育网
9．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tan α.
[能力提升]
1．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90
C. D．45
2．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos＋sin的值；
(2)求tan(π－θ)－的值.
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第四讲 三角函数的诱导公式
诱导公式(一)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．tan＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：tan＝tan(π＋)＝tan＝.
答案：B
2．下列式子中正确的是( )
A．sin(π－α)＝－sinα
B．cos(π＋α)＝cosα
C．cosα＝sinα
D．sin(2π＋α)＝sinα
解析：对于选项A，令α＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，得sin(π－α)＝sin＝1≠－sin，所以A错误；对于选项B，令α＝0，得cos(π＋α)＝cosπ＝－1≠cos0，所以B错误；对于选项C，令α＝0，得cosα＝cos0＝1≠sin0，所以C错误．
答案：D
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．±
C. D．－
解析：由cos(π＋α)＝－，得cosα＝，故sin(2π＋α)＝sinα＝－＝－(α为第四象限角)．
答案：D
4．cos(k∈Z)的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝cos＝；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝cos＝－cos＝－.
答案：A
5．给出下列各函数值：
①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：sin(－1 000°)＝sin80°>0；
cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos40°>0；
tan(－10)＝tan(3π－10)<0；
＝，
∵sin>0，tan<0，∴原式>0.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求值：(1)cos＝________；(2)tan(－225°)＝________.
解析：(1)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1.2·1·c·n·j·y
答案：(1)－ (2)－1
7．若sin(－α)＝，α∈，则cos(π＋α)＝________.
解析：∵sin(－α)＝，∴sinα＝－.∵α∈，∴cosα＝＝，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：－
8．已知a＝tan，b＝cosπ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
解析：a＝－tan＝－tan＝－，
b＝cosπ＝cos＝，
c＝sin＝－，∴c
答案：b>a>c
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各三角函数值：
(1)sin；(2)cos；(3)tan(－855°)．
解析：(1)sin＝sin＝sinπ
＝sin＝－sin＝－.
(2)cos＝cos＝cosπ＝cos
＝－cos＝－.
(3)tan(－855°)＝tan(－3×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.21*cnjy*com
10．若cosα＝，α是第四象限角，求
的值．
解析：由已知cosα＝，α是第四象限角得sinα＝－，
故
＝＝.
11．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2017)＝3，则f(2018)的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＋4＝3，
∴asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝－1，
∴f(2018)＝asin(2017π＋ ( http: / / www.21cnjy.com )α＋π)＋bcos(2017π＋β＋π)＋4＝－asin(2017π＋α)－bcos(2017π＋β)＋4＝1＋4＝5.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：C
12.＝________.
解析：
＝＝|sin2－cos2|.
又∵<2<π，
∴sin2>0，cos2<0，
∴原式＝sin2－cos2.
答案：sin2－cos2
13．求下列三角函数值．
(1)tanπ＋cos(－1 650°)＋sinπ；
(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°.
解析：(1)原式＝tan＋cos1650°＋
sin
＝－tan＋cos(4×360°＋210°)－sin
＝－1＋cos210°－＝－1＋cos(180°＋30°)－
＝－－cos30°＝－－.
(2)原式＝7cos(180°＋90° ( http: / / www.21cnjy.com ))＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝－2.
14．化简：
(1)；
(2).
解析：(1)原式＝·cosα
＝
＝＝－cos2α.
(2)原式＝
＝－cosθ.
诱导公式(二)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由于sin＝cosθ<0，cos＝sinθ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
答案：B
2．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos(π＋A)＝－cosA＝－，
∴cosA＝，
∴sin＝cosA＝.
答案：B
3．下列式子与sin相等的是( )
A．sin B．cos
C．cos D．sin
解析：因为sin＝－sin＝－cosθ，
对于A，sin＝cosθ；
对于B，cos＝－sinθ；
对于C，cos＝cos
＝－cos＝－sinθ；
对于D，sin＝sin
＝－sin＝－cosθ.
答案：D
4．已知tanθ＝2，则等于( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：＝＝＝＝－2.
答案：B
5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－m B．－m
C.m D.m
解析：∵sin(π＋α)＋cos＝－m，
即－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，从而sinα＝，
∴cos＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．sin95°＋cos175°的值为________．
解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.21世纪教育网版权所有
答案：0
7．如果cosα＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
解析：由公式六知cos＝－sinα，因为α是第四象限角，且cosα＝，所以sinα＝－＝－＝－.21·cn·jy·com
故cos＝－sinα＝.
答案：
8．已知cosα＝，则sin·costan(π－α)＝________.
解析：sincostan(π－α)
＝－cosαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cos2α
＝1－2＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知cos＝，求下列各式的值：
(1)sin；(2)sin
解析：(1)sin＝sin
＝cos＝.
(2)sin＝sin
＝－sin
＝－cos＝－.
10．化简：
(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解析：
(1)原式＝·sin(－sinα)
＝·(－sinα)
＝·(－cosα)(－sinα)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos＋cosαcos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋cosαcos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sinα＋cosαcosα
＝sin2α＋cos2α
＝1.
11．已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，
则cos(30°－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由－180°<α<－90°，得 ( http: / / www.21cnjy.com )－120°<60°＋α<－30°.又cos(60°＋α)＝>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－＝－.21cnjy.com
答案：A
12．已知f(α)＝，
则f的值为________．
解析：∵f(α)＝＝cosα，
∴f＝cos＝cosπ
＝cos＝cos＝.
答案：
13．求证：对任意的整数k，
＝－1.
解析：左边＝.
①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则左边＝＝＝－1.
②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，同理可得左边＝－1，综上，可知原等式成立．
14．是否存在角α，β，α∈ ( http: / / www.21cnjy.com )，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com
解析：假设存在角α，β满足条件，
则
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴cos2α＝，∴cosα＝±.
∵α∈，∴cosα＝.
由cosα＝，cosα＝cosβ，
得cosβ＝.∵β∈(0，π)，∴β＝，
∴sinβ＝，结合①可知sinα＝，
则α＝.
故存在α＝，β＝满足条件．
[学业达标]
一、选择题
1．设sin 160°＝a，则cos 340°的值是( )
A．1－a2 B.
C．－ D．±
【解析】 因为sin 16 ( http: / / www.21cnjy.com )0°＝a，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝.21·世纪*教育网
【答案】 B
2．已知α∈，tan α＝－，则sin(α＋π)＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 因为sin(α＋π)＝－sin α，且tan α＝－，α∈，所以sin α＝，则sin(α＋π)＝－.
【答案】 B
3．已知sin＝，则cos等于( )
A．－ B.
C. D．－
【解析】 cos＝cos
＝－sin＝－.故选A.
【答案】 A
4．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B.
C．－1 D．1
【解析】 由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m，所以＝＝＝＝.
【答案】 A
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 因为f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－.
【答案】 A
二、填空题
6．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为________．
【解析】 ∵sin(π＋α)＋cos
＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝，∴cos＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.
【答案】 －
7．下列三角函数：①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin(n∈Z)．
其中与sin 数值相同的是________．(填序号)
【解析】 ①sin＝
②cos＝cos ＝sin ；
③sin＝sin ；
④cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－sin ；
⑤sin＝sin＝sin＝sin .因此与sin 数值相同的是②③⑤.
【答案】 ②③⑤
三、解答题
8．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．www-2-1-cnjy-com
【解】 原式＝－sin( ( http: / / www.21cnjy.com )3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)2-1-c-n-j-y
＝－sin(180°－60°)·cos ( http: / / www.21cnjy.com )(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
9．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tan α.
【解】 (1)f(α)
＝
＝＝sin α.
(2)由sin＝－，得cos α＝－，
又α是第二象限角，所以sin α＝＝，
则tan α＝＝－.
[能力提升]
1．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90
C. D．45
【解析】 原式＝sin21°＋s ( http: / / www.21cnjy.com )in22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋sin2(90°－44°)＋…＋sin2(90°－3°)＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)21教育网
＝sin21°＋sin22°＋s ( http: / / www.21cnjy.com )in23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋( ( http: / / www.21cnjy.com )sin22°＋cos22°)＋(sin23°＋cos23°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°
＝44＋＝.
【答案】 C
2．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos＋sin的值；
(2)求tan(π－θ)－的值.
【解】 由已知原方程判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，则a≥4或a≤0.
又
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
即a2－2a－1＝0，
所以a＝1－或a＝1＋(舍去)．
则sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.
(1)cos＋sin＝sin θ＋cos θ＝1－.
(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－
＝－
＝－
＝－＝－＝＋1.
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