中小学教育资源及组卷应用平台
第三讲 同角三角函数的基本关系
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tanα的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵α为第二象限角，∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝－.
答案：D
2．下列结论中成立的是( )
A．sinα＝且cosα＝
B．tanα＝2且＝
C．tanα＝1且cosα＝±
D．sinα＝1且tanα·cosα＝1
解析：A中，sin2α＋cos2 ( http: / / www.21cnjy.com )α＝≠1，故不成立；B中，＝，即tanα＝3，与tanα＝2矛盾，故不成立；D中，sinα＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tanα无意义，故不成立．
答案：C
3．已知tanα＝2，则＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：＝，把tanα＝2代入，
得原式＝3.
答案：D
4.cos2x＝( )
A．tanx B．sinx
C．cosx D.
解析：cos2x＝·cos2x＝cos2x＝.
答案：D
5．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：由sinα－cosα＝ ①，两边平方得1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1，故(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝0，即sinα＋cosα＝0 ②，联立①②得sinα＝，cosα＝－，故tanα＝＝－1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cosθ＝－＝－ ＝－.
答案：－
7．已知sinαcosα＝，则sinα－cosα＝________.
解析：因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝0，所以sinα－cosα＝0.21世纪教育网版权所有
答案：0
8．已知＝2，则sinαcosα的值为________．
解析：由＝2，得＝2，∴tanα＝3，∴sinαcosα＝＝＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
解析：(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.
原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝＝＝.
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
10．证明：·＝1.
证明：·
＝·
＝·
＝＝＝1.
11．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：将sinA＋cosA＝两边平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝，又sin2A＋cos2A＝1，故sinAcosA＝－.因为0
0，则cosA<0，即A是钝角．21cnjy.com
答案：B
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)
＝sin2β＋cos2β＝1.
答案：1
13．化简：－(α为第二象限角)．
解析：∵α是第二象限角，
∴cosα<0.
则原式＝－
＝·－
＝＋＝
＝＝tanα.
14．已知－(1)sinx－cosx；
(2).
解析：(1)∵sinx＋cosx＝，
∴(sinx＋cosx)2＝2，即1＋2sinxcosx＝，
∴2sinxcosx＝－.
∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝，21·cn·jy·com
又－0，
∴sinx－cosx<0，
∴sinx－cosx＝－.
(2)由已知条件及(1)，可知，
解得，
∴＝＝.
[学业达标]
一、选择题
1．若sin α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α的值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 由sin α＋sin2α＝1，得sin α＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sin α＋sin2α＝1.
【答案】 B
2．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( )
A．± B．－
C. D.
【解析】 2sin αcos α＝＝＝＝.
【答案】 C
3．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝( ) 【导学号：00680011】www.21-cn-jy.com
A. B．－
C. D．－
【解析】 由(sin θ＋cos θ ( http: / / www.21cnjy.com ))2＝1＋2sin θcos θ＝，得2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，又由于0<θ≤，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－.2·1·c·n·j·y
【答案】 B
4．若α∈[0,2π)，且有＋＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为＋＝sin α－cos α，所以又α∈[0,2π)，
所以α∈，故选B.
【答案】 B
5.的值为( )
A．1 B．－1
C．sin 10° D．cos 10°
【解析】 ＝＝
＝＝－1.
【答案】 B
二、填空题
6．已知cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________.
【解析】 由得(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－，cos α＝－，∴tan α＝2.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 2
7．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2 α＋＝________.21·世纪*教育网
【解析】 ∵tan α＋＝＝3，
∴sin αcos α＝.
又tan2 α＋＝2－2＝9－2＝7，
∴tan2 α＋＝7.
【答案】 7
三、解答题
8．已知tan α＝，求下列各式的值：
(1)＋；
(2)；
(3)sin2 α－2sin αcos α＋4cos2 α.
【解】 (1)＋＝＋＝＋＝.
(2)＝
＝＝.
(3)sin2 α－2sin αcos α＋4cos2 α
＝
＝
＝＝.
9．若<α<2π，求证： ＋＝－. 【导学号：70512007】
【证明】 ∵<α<2π，∴sin α<0.
左边＝＋
＝ ＋
＝＋
＝－－
＝－＝右边．
∴原等式成立．
[能力提升]
1．已知sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝________.
【解析】 ＋
＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由韦达定理得sin θcos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±.21教育网
【答案】 ±
2．已知sin x＋sin y＝，
求μ＝sin y－cos2 x的最值．
【解】 因为sin x＋sin y＝，
所以sin y＝－sin x，
则μ＝sin y－cos2 x＝－sin x－cos2 x
＝－sin x－(1－sin2 x)
＝sin2 x－sin x－
＝－.
又因为－1≤sin y≤1，则－1≤－sin x≤1，结合－1≤sin x≤1，解得－≤sin x≤1，
故当sin x＝－时，μmax＝，
当sin x＝时，μmin＝－.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第三讲 同角三角函数的基本关系
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tanα的值是( )
A. B．－
C. D．－
2．下列结论中成立的是( )
A．sinα＝且cosα＝
B．tanα＝2且＝
C．tanα＝1且cosα＝±
D．sinα＝1且tanα·cosα＝1
3．已知tanα＝2，则＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
4.cos2x＝( )
A．tanx B．sinx
C．cosx D.
5．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
7．已知sinαcosα＝，则sinα－cosα＝________.
8．已知＝2，则sinαcosα的值为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
10．证明：·＝1.
11．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
13．化简：－(α为第二象限角)．
14．已知－(1)sinx－cosx；
(2).
[学业达标]
一、选择题
1．若sin α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α的值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( )
A．± B．－
C. D.
3．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝( ) 【导学号：00680011】21世纪教育网版权所有
A. B．－
C. D．－
4．若α∈[0,2π)，且有＋＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.的值为( )
A．1 B．－1
C．sin 10° D．cos 10°
二、填空题
6．已知cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________.
7．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2 α＋＝________.21教育网
三、解答题
8．已知tan α＝，求下列各式的值：
(1)＋；
(2)；
(3)sin2 α－2sin αcos α＋4cos2 α.
9．若<α<2π，求证： ＋＝－. 【导学号：70512007】
[能力提升]
1．已知sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝________.
2．已知sin x＋sin y＝，
求μ＝sin y－cos2 x的最值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)