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第九讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝ D．A＝，T＝
3．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
4．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
5．关于函数f(x)＝2sin，以下说法：
①其最小正周期为；
②图象关于点对称；
③直线x＝－是其一条对称轴．
其中正确说法的序号是________．
一、选择题
1．函数y＝2sin的周期、振幅、初相分别是( )
A.，2， B．4π，－2，－
C．4π，2， D．2π，2，
2．如图所示，函数的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
5．把函数f(x)＝2cos(ωx ( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为( )
A．1， B．2， C.， D.，
6.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
7．(2018·金华东阳中学检测)函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，为了得到函数f(x)的图象，只需将g(x)＝sin ωx的图象( )21世纪教育网版权所有
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
8．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则( )
A．f(x)的图象过点
B．f(x)在上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是
D．f(x)的最大值是A
二、填空题
9．把函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值是________．21教育网
10．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.21cnjy.com
11．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________.www.21-cn-jy.com
三、解答题
12．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.2·1·c·n·j·y
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) ( http: / / www.21cnjy.com )的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．www-2-1-cnjy-com
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )21·世纪*教育网
A．－ B．－ C. D．－
15．(2018·牌头中学月考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，周期为π，且它的图象经过点(0，－)．21·cn·jy·com
求：(1)函数f(x)的表达式；
(2)求其单调递增区间．
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第九讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )21教育网
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 A
解析 由题意知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|<，所以φ＝，T＝＝6，故选A.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝ D．A＝，T＝
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 D
解析 由题图可知A＝(3－0)＝，
设周期为T，则T＝－＝，得T＝.
3．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
考点 正弦函数的图象
题点 五点法作正弦函数图象
答案 A
解析 将y＝sin x的图象上所 ( http: / / www.21cnjy.com )有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即可得到y＝sin的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图象．www.21-cn-jy.com
4．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换
题点 三角函数图象的平移变换
答案 B
解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，
由2x＋＝kπ＋，k∈Z，
得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.
5．关于函数f(x)＝2sin，以下说法：
①其最小正周期为；
②图象关于点对称；
③直线x＝－是其一条对称轴．
其中正确说法的序号是________．
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 ①②③
解析 T＝＝；当x＝时，f＝2sin＝2sin＝0，所以图象关于点对称，x＝－时，f(x)＝2sin＝2sin＝2，所以直线x＝－是其一条对称轴．21·世纪*教育网
1．利用“五点法”作函数y＝Asin(ω ( http: / / www.21cnjy.com )x＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，π，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值．
2．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通 ( http: / / www.21cnjy.com )过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.21*cnjy*com
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．【出处：21教育名师】
3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A> ( http: / / www.21cnjy.com )0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．【版权所有：21教育】
一、选择题
1．函数y＝2sin的周期、振幅、初相分别是( )
A.，2， B．4π，－2，－
C．4π，2， D．2π，2，
考点 求三角函数的解析式
题点 函数中参数的物理意义
答案 C
解析 由函数解析式，得A＝2，ω＝，φ＝，T＝＝4π.
2．如图所示，函数的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
考点 求三角函数的解析式
题点 根据三角函数的图象求解析式
答案 D
解析 由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.
又当x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 A
4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 D
解析 由f＝f知，x＝是函数的对称轴，解得f＝3或－3，故选D.
5．把函数f(x)＝2cos(ωx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为( )
A．1， B．2， C.， D.，
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 B
解析 依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos，
则函数g(x)＝2cos.
因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，
则g(x)＝2cos.
又因为函数为奇函数，所以φ＋＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，则φ＝.
6.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 D
解析 由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得
2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
故选D.
7．(2018·金华东阳中学检测)函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，为了得到函数f(x)的图象，只需将g(x)＝sin ωx的图象( )21世纪教育网版权所有
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 C
解析 根据函数图象可得f(x)＝sin，为了得到函数f(x)的图象，只需将g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度．2·1·c·n·j·y
8．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则( )
A．f(x)的图象过点
B．f(x)在上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是
D．f(x)的最大值是A
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 C
解析 由题意得ω＝2，且2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝－＋kπ，k∈Z，又∵|φ|<，
故当k＝1时，φ＝，则f(x)＝Asin.
则f(0)＝A，故A错；对于B和D，由于A的符号不能确定，所以B和D都错；对于C，当x＝时，2x＋＝π，故C正确．【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
9．把函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值是________．www-2-1-cnjy-com
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案
解析 把y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，则y＝2sin，其图象关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z.
∴取k＝1，m的最小正值为.
10．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.2-1-c-n-j-y
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
又－π≤φ<π，∴φ＝.
11．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________.21教育名师原创作品
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案
解析 由题图可知＝－＝，T＝，
∴f(0)＝f，注意到＝，也即和关于对称，于是f(0)＝f＝－f＝.
三、解答题
12．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.21*cnjy*com
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin.
(2)∵0≤x≤π，∴≤2x＋≤，
列出x，y的对应值表：
x 0 π π π π
2x＋ π π 2π
y 1 0 － 0 1
描点，连线，如图所示．
13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ ( http: / / www.21cnjy.com ))的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．21·cn·jy·com
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
解 (1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π.
∴4π＝，即ω＝，∴f(x)＝2sin，
∴f(0)＝2sin φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z，
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，
∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2]．
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )21cnjy.com
A．－ B．－ C. D．－
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
答案 D
解析 由函数f(x)是奇函数， ( http: / / www.21cnjy.com )且0<φ<π，可得φ＝.由图象及已知可得函数的最小正周期为4，得ω＝.由△EFG的边FG上的高为，可得A＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝cos π＝－.
15．(2018·牌头中学月考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，周期为π，且它的图象经过点(0，－)．【来源：21cnj*y.co*m】
求：(1)函数f(x)的表达式；
(2)求其单调递增区间．
考点 三角函数图象的综合应用
题点 三角函数图象的综合应用
解 (1)∵函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，周期是π，且它的图象经过点(0，－)，
∴A＝2，ω＝＝2，－＝2sin φ，
∴sin φ＝－，
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin，
综上所述，f(x)＝2sin.
(2)当－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z时，函数单调递增，
此时－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
综上所述，函数的单调递增区间是，k∈Z.
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