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第五讲 正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的图象
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点M在函数y＝sinx的图象上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
2．用“五点法”作y＝2sin2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
4．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( )
5．方程|x|＝cosx在区间(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个实根
C．有且仅有两个实根 D．有无穷多个实根
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列叙述正确的有________．
(1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
7．关于三角函数的图象，有下列说法：
(1)y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
(3)y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
(4)y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
8．直线y＝与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的交点坐标是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图．
10．根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤，x∈[0,2π]．
11．已知函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )21世纪教育网版权所有
A．4 B．8
C．2π D．4π
12．函数y＝的定义域是________．
13．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
14．利用图像变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝xsin( )
A．是奇函数
B．是非奇非偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2．函数y＝4sin(2x＋π)的图像关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
3．下列四个函数的图象中关于y轴对称的是( )
A．y＝sinx B．y＝－cosx
C．y＝1－sinx D．y＝cos
4．函数f(x)＝3sin是( )
A．周期为3π的偶函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数
D．周期为的偶函数
5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sinx|
C．y＝sin D．y＝cos
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．f(x)＝sinxcosx是________(填“奇”或“偶”)函数．
7．函数y＝cos的最小正周期是________．
8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝cos；(2)y＝|sin|.
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝x·cosx.
11．已知函数y＝sin是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0 B．－
C. D．π
12．函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，则sin＝________.
13．已知函数y＝cosx＋|cosx|.
(1)画出函数的图像；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
14．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
2．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是( ) 【导学号：00680017】
A．(0，π) B.
C. D.
3．将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝( )
A. B．π
C. D.
4．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
二、填空题
6．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0,2π]的x的区间是__________．
7．函数y＝的定义域是__________．
三、解答题
8．用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
9．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图1 4 1)，求这个封闭图形的面积．21教育网
图1 4 1
[能力提升]
1．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.∪
2．作出函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出y的取值范围；
(2)若函数图象与y＝在x∈[0，π]上有两个交点，求a的取值范围. 【导学号：70512010】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第五讲 正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的图象
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点M在函数y＝sinx的图象上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：点M在y＝sinx的图象上，代入得－m＝sin＝1，∴m＝－1.
答案：C
2．用“五点法”作y＝2sin2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：由2x＝0，，π，，2π知五个点的横坐标是0，，，，π.
答案：B
3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．21·世纪*教育网
答案：B
4．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( )
解析：列表
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
1－sinx 1 0 1 2 1
描点与选项比较，得选项B.
答案：B
5．方程|x|＝cosx在区间(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个实根
C．有且仅有两个实根 D．有无穷多个实根
解析：在同一坐标系内画出函数y＝|x|和y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )cosx的图像(图略)，由图像可知，函数y＝|x|的图像与y＝cosx的图像有且只有两个公共点．2-1-c-n-j-y
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列叙述正确的有________．
(1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
解析：分别画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]和y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．
答案：(1)(2)(3)
7．关于三角函数的图象，有下列说法：
(1)y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
(3)y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
(4)y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
解析：对(2)，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；
对(4)，y＝cos(－x)＝cosx，
故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．
答案：(2)(4)
8．直线y＝与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的交点坐标是________．
解析：令sinx＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π，又∵x∈[0,2π]，故x＝或π.
答案：，
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图．
解析：(1)取值列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
1－sinx 1 0 1 2 1
(2)
10．根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤，x∈[0,2π]．
解：函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为
.
11．已知函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )21*cnjy*com
A．4 B．8
C．2π D．4π
解析：依题意，由余弦函数图像关于点和点成中心对称，可得y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：D
12．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，只需2cosx－≥0，即cosx≥.由余弦函数图像知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
13．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解析：列表如下：
x π 2π π
sin 0 1 0 －1 0
描点并用光滑的曲线连接起来．
14．利用图像变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
解析：(1)首先用“五点法”作出 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝cosx，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cosx，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cosx，x∈[0,2π]的简图，如图所示．21·cn·jy·com
(2)首先用“五点法”作出函数y＝s ( http: / / www.21cnjy.com )inx，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sinx|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．【来源：21·世纪·教育·网】
正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝xsin( )
A．是奇函数
B．是非奇非偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：由题，得函数f(x)的定义域为R ( http: / / www.21cnjy.com )，关于原点对称，又f(x)＝xsin＝xcosx，所以f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．【出处：21教育名师】
答案：A
2．函数y＝4sin(2x＋π)的图像关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
解析：y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函数图像关于原点对称．
答案：B
3．下列四个函数的图象中关于y轴对称的是( )
A．y＝sinx B．y＝－cosx
C．y＝1－sinx D．y＝cos
解析：A、D所涉及的函数都是奇函数，C是非奇非偶函数．
答案：B
4．函数f(x)＝3sin是( )
A．周期为3π的偶函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数
D．周期为的偶函数
解析：f(x)＝3sin＝3sin＝－3cosx，
∴f(x)为偶函数，且T＝＝3π.
答案：A
5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sinx|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sinx|是偶函数；
y＝sin＝cos2x是偶函数；
y＝cos＝－sin2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．f(x)＝sinxcosx是________(填“奇”或“偶”)函数．
解析：x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
答案：奇
7．函数y＝cos的最小正周期是________．
解析：∵y＝cos，∴T＝＝2π×＝4.
答案：4
8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
解析：f＝f＝f＝
sin＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝cos；(2)y＝|sin|.
解析：(1)利用公式T＝，可得函数
y＝cos的最小正周期为T＝＝π.
(2)易知函数y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，而函数y＝的图象是由函数y＝sin的图象将在x轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y＝的最小正周期为2π.
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝x·cosx.
解析：(1)因为x∈R，
f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，
所以f(x)＝cos2x是偶函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．21世纪教育网版权所有
(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，
所以f(x)＝xcosx是奇函数．
11．已知函数y＝sin是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0 B．－
C. D．π
解析：y＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，
从而φ＝kπ－，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－满足题意．
答案：B
12．函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，则sin＝________.
解析：∵函数f(x)是以4为周期的奇函数，
且f(－1)＝1，∴f(5)＝f(4＋1)＝f(1)
＝－f(－1)＝－1，
则原式＝sin＝－sin＝－1.
答案：－1
13．已知函数y＝cosx＋|cosx|.
(1)画出函数的图像；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
解析：(1)y＝cosx＋|cosx|
＝
函数图像如图所示．
(2)由图像知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
14．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．
解析：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
(2)解：由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，
所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.21教育网
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
【解析】 可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B.21cnjy.com
【答案】 D
2．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是( ) 【导学号：00680017】
A．(0，π) B.
C. D.
【解析】 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下：
因为sin ＝，
所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0,2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.可知不等式sin x<－的解集是.
【答案】 C
3．将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝( )
A. B．π
C. D.
【解析】 根据诱导公式得，y＝－sin ( http: / / www.21cnjy.com ) x＝cos ＝cos，故欲得到y＝－sin x的图象，需将y＝cos x的图象向右至少平移个单位长度．www.21-cn-jy.com
【答案】 C
4．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 在[0,2π]内使sin x＝－的角x为和，所以y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有2个交点，故选B.2·1·c·n·j·y
【答案】 B
5．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
【解析】 由题意得
y＝
显然只有D合适．
【答案】 D
二、填空题
6．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0,2π]的x的区间是__________．
【解析】 画出y＝cos x，x∈[0,2π]上的图象如图所示．
cos x>0的区间为∪.
【答案】 ∪
7．函数y＝的定义域是__________．
【解析】 由logsin x≥0知0
【答案】 {x|2kπ三、解答题
8．用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
【解】 列表：
x 0 π π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 0 1 2 1 0
描点连线，如图．
9．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图1 4 1)，求这个封闭图形的面积．www-2-1-cnjy-com
图1 4 1
【解】 观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S 1＝S2，S3＝S4.
因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．
∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，
∴所求封闭图形的面积为4π.
[能力提升]
1．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.∪
【解析】
在同一坐标系中画出y＝sin ( http: / / www.21cnjy.com )x，x∈(0,2π)与y＝cos ，∈(0,2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x∈时，sin x>cos x.【版权所有：21教育】
【答案】 C
2．作出函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出y的取值范围；
(2)若函数图象与y＝在x∈[0，π]上有两个交点，求a的取值范围. 【导学号：70512010】
【解】 列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2＋sin x 2 3 2 1 2
描点、连线，如图．
(1)由图知，y∈[1,3]．
(2)由图知，当2≤<3时，函数图象与y＝在[0，π]上有两个交点，即－5故a的取值范围是(－5，－3]．
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