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第六讲 正弦函数、余弦函数的性质
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
2．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,0] D．[0,2]
4．已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个最大值点，则f(x)的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
5．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝cos的单调递减区间为________．
7．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
8．sin，sin，sin，从大到小的顺序为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
10．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝2sin.
11．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
12．若y＝asinx＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
13．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin196°与cos156°；
(3)cos与cos.
14．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．
[学业达标]
一、选择题
1．在函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③
C．①② D．①
2．函数y＝cos的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
3．y＝sin x－|sin x|的值域是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,0]
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°5．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
6．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________. 【导学号：00680020】
7．已知函数f(x)＝acos x＋b的最大值为1，最小值为－3，则函数g(x)＝absin x＋3的最大值为________．
三、解答题
8．求下列函数的值域．
(1)y＝2sin，x∈；
(2)f(x)＝1－2sin2x＋2cos x.
9．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)求f(x)的单调递增区间．
[能力提升]
1．关于函数f(x)＝4sin
(x∈R)，有下列命题：
①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y＝f(x)的图象关于点对称；
④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的是( )
A．②③ B．①③
C．①④ D．②④
2．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．
3．设函数f(x)＝asin＋b.
(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值.
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第六讲 正弦函数、余弦函数的性质
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．
答案：C
2．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：法一 y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.21世纪教育网版权所有
由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
法二 函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.21教育网
答案：D
3．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,0] D．[0,2]
解析：∵y＝|sinx|＋sinx＝
又∵－1≤sinx≤1，∴y∈[0,2]．
即函数的值域为[0,2]．
答案：D
4．已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个最大值点，则f(x)的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：由2×＋φ＝，得φ＝－.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，令k＝0，得选B.21·cn·jy·com
答案：B
5．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
解析：∵＋＝，
∴y＝2sin－cos
＝2cos－cos
＝cos，∴ymin＝－1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝cos的单调递减区间为________．
解析：y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：当0≤x≤时，－≤2x－≤，因为函数y＝sinx在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－.
答案：－
8．sin，sin，sin，从大到小的顺序为________．
解析：∵<<<<π，
又函数y＝sinx在上单调递减，
∴sin>sin>sin.
答案：sin>sin>sin
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
解析：y＝1＋sin＝－sin＋1.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin的单调减区间为，，.
10．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝2sin.
解析：(1)∵－1≤cos≤1
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.www.21-cn-jy.com
答案：C
12．若y＝asinx＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
解析：当a>0时，得
当a<0时，得
答案：±2
13．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin196°与cos156°；
(3)cos与cos.
解析：(1)∵－<－<－<，
∴sin>sin.
(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，
cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，
∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°从而－sin16°>－sin66°，
即sin196°>cos156°.
(3)cos＝cosπ
＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ
＝cos＝cos.
∵0<<π<π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数，
∴cosπ即cos14．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解析：∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sinx＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
[学业达标]
一、选择题
1．在函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③
C．①② D．①
【解析】 由图象(略)知，①②的最小正周期均为π；y＝cos的最小正周期为π.
【答案】 A
2．函数y＝cos的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
【解析】 因为y＝cos＝sin x，所以为奇函数．
【答案】 A
3．y＝sin x－|sin x|的值域是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,0]
【解析】 y＝因此函数的值域为[－2,0]．故选D.
【答案】 D
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°【解析】 由诱导公式，得cos 1 ( http: / / www.21cnjy.com )0°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°【答案】 C
5．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
【解析】 令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________. 【导学号：00680020】
【解析】 由0≤x≤，得0≤2x≤π，于是－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，即－≤3sin≤3.21cnjy.com
【答案】
7．已知函数f(x)＝acos x＋b的最大值为1，最小值为－3，则函数g(x)＝absin x＋3的最大值为________．
【解析】 当a>0时，由题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )解得g(x)＝－2sin x＋3，最大值为5；当a<0时，由题意得解得g(x)＝2sin x＋3，最大值为5；当a＝0时，不合题意，
∴g(x)的最大值为5.
【答案】 5
三、解答题
8．求下列函数的值域．
(1)y＝2sin，x∈；
(2)f(x)＝1－2sin2x＋2cos x.
【解】 (1)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1，∴0≤2sin≤2，
∴原函数的值域为[0,2]．
(2)f(x)＝1－2sin2x＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－1＝22－，
∴当cos x＝－时，f(x)min＝－，
当cos x＝1时，f(x)max＝3，
∴该函数值域为.
9．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)求f(x)的单调递增区间．
【解】 (1)由已知f(x)＝2cos＝2cos，
则T＝＝4π.
(2)当2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)，
即4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，
函数f(x)单调递增，
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
[能力提升]
1．关于函数f(x)＝4sin
(x∈R)，有下列命题：
①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y＝f(x)的图象关于点对称；
④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的是( )
A．②③ B．①③
C．①④ D．②④
【解析】 f(x)＝4sin＝4cos
＝4cos＝4cos，
故①正确；
函数f(x)的最小正周期为π，故②错误；
由f＝4sin＝0，
知函数y＝f(x)的图象关于点对称，
不关于直线x＝－对称，
故③正确，④错误．
【答案】 B
2．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．
【解析】 根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，
∴sin＝1，
∴＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z.
又0<ω<2，∴ω＝.
【答案】
3．设函数f(x)＝asin＋b.
(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值. 【导学号：70512012】
【解】 (1)由于a>0，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，
则≤sin≤1，
由f(x)的值域为[1,3]知：
或
综上得：或
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