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第二讲 任意角的三角函数
任意角的三角函数(一)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如果角θ的终边在第二象限，那么点P(sinθ，cosθ)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵角θ的终边在第二象限，
∴sinθ>0，cosθ<0，
∴点P(sinθ，cosθ)位于第四象限．
答案：D
2．若cosα＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2
C．－2 D．－2
解析：r＝，由题意得＝－，∴x＝－2 .故选D.
答案：D
3．sin(－140°)cos740°的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
解析：因为－140°为第三象限角，
故sin(－140°)<0.
因为740°＝2×360°＋20°，
所以740°为第一象限角，
故cos740°>0，
所以sin(－140°)cos740°<0.故选B.
答案：B
4．如果角α的终边经过点P(sin780°，cos(－330°))，则sinα＝( )
A. B.
C. D．1
解析：sin780°＝sin ( http: / / www.21cnjy.com )(2×360°＋60°)＝sin60°＝，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝.所以P，所以r＝|OP|＝.由三角函数的定义，得sinα＝＝＝.21·世纪*教育网
答案：C
5．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2cosα＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵a<0，角α的终 ( http: / / www.21cnjy.com )边经过点P(－3a,4a)，∴点P与原点的距离r＝－5a，sin α＝－，cosα＝，∴sinα＋2cosα＝.选A.www-2-1-cnjy-com
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sinθ解析：由条件可知cosθ>0，sinθ<0，则θ为第四象限角．
答案：四
7．sin＋cos－tan的值为________．
解析：原式＝sin＋cos－tan＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0.
答案：0
8．已知角α的终边经过点P(3,4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t＝________.21*cnjy*com
解析：sin(2kπ＋α)＝sinα＝－<0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t<0，又sinα＝，所以＝－，所以t＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，
所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
当a>0时，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2；
当a<0时sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2.
10．判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cos4·tan.
解析：(1)因为α是第四象限角，
所以sinα<0，tanα<0，
所以sinα·tanα>0.
(2)因为<3<π，π<4<，
所以sin3>0，cos4<0，
因为－＝－6π＋，
所以tan＝tan>0，
所以sin3·cos4·tan<0.
11．若sinαtanα<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cosα，tanα异号，从而α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
答案：C
12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析：∵y＝3x，sinα<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，
且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
13．计算：
(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；
(2)sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin.
解析：(1)原式＝sin( ( http: / / www.21cnjy.com )360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180°＝＋＋3×1－(－1)＝5.【版权所有：21教育】
(2)原式＝sin＋tanπ－2cos0＋
tan－sin＝sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin＝1＋0－2＋1－＝－.
14．已知角θ的终边不在坐标轴上，且|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，试判断＋tanθ的符号．
解析：由|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，得|sinθcosθ|＝－sinθcosθ.
因为角θ的终边不在坐标轴上，所以sinθcosθ<0.
所以tanθ<0，且<0，
所以＋tanθ<0.
任意角的三角函数(二)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对三角函数线，下列说法正确的是( )
A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在
D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在
解析：终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错，因此选D.
答案：D
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
解析：因为π是第二象限角，
所以sinπ>0，cosπ<0，
所以MP>0，OM<0，
所以MP>0>OM.
答案：D
3．有三个命题：①和的正弦线长度相等；② 和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确．故选C.2-1-c-n-j-y
答案：C
4．使sinx≤cosx成立的x的一个区间是( )
A. B.
C. D.
解析：如图，画出三角函数线 ( http: / / www.21cnjy.com )sinx＝MP，cosx＝OM，由于sin＝cos，sin＝cos，为使sinx≤cosx成立，由图可得在[－π，π)范围内，－≤x≤.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：A
5．如果<θ<，那么下列各式中正确的是( )
A．cosθC．tanθ解析：如图所示，作出角θ的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由图可知AT>MP>OM，即tanθ>sinθ>cosθ，故选D.2·1·c·n·j·y
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．比较大小：sin1________sin(填“>”或“<”)．
解析：因为0<1<<，结合单位圆中的三角函数线，知sin1答案：<
7．不等式tanα＋>0的解集是________．
解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
答案：
8．若cosθ>sin，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．
解析：因为cosθ>sin，所以cosθ>sin＝sin＝，易知角θ的取值范围是
(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
解析：(1)因为∈，所以做出角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP＝sin，有向线段OM＝cos，设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT＝tan.综上所述，图(1)中的有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线．
(2)因为－∈，所以在第三象限内做出－角的终边如图(2)所示，交单位圆于点P′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M′P′、OM′、A′T′分别为－角的正弦线、余弦线、正切线．【出处：21教育名师】
10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
(1)tanα＝－1；(2)sinα≤－.
解析：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原 ( http: / / www.21cnjy.com )点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝＝π－，∠xOP′＝－，21教育名师原创作品
所以满足条件的所有角α的集合是
.
②
(2)如图②所示，过作与x轴平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，21*cnjy*com
∴∠xOP＝π，∠xOP′＝π，
∴满足条件所有角α的集合为
.
11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
解析：作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.
答案：C
12．若θ∈，则sinθ 的取值范围是________．
解析：由图可知sin＝，
sin＝－1，>sinθ>－1，
即sinθ∈.
答案：
13．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边．
(1)sinα＝；(2)cosα＝－.
解析：(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM，ON为角α的终边，如图乙．
14．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(sinx－)＋.
解析：(1)自变量x应满足2sinx－≥0，即sinx≥.图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即.21教育网
(2)由题意，自变量x应满足不等式组即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
[学业达标]
一、选择题
1．下列三角函数判断错误的是( )
A．sin 165°>0 B．cos 280°>0
C．tan 170°>0 D．tan 310°<0
【解析】 ∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0；
又270°<280°<360°，∴cos 280°>0；
又90°<170°<180°，∴tan 170°<0；
又270°<310°<360°，∴tan 310°<0.故选C.
【答案】 C
2．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(rsin α，rcos α) D．P(rcos α，rsin α)
【解析】 设P(x，y)，则sin ( http: / / www.21cnjy.com )α＝，∴y＝rsin α，又cos α＝，x＝rcos α，∴P(rcos α，rsin α)，故选 D.21世纪教育网版权所有
【答案】 D
3．角α的终边上有一点(－a,2a)(a<0)，则sin α的值为( ) 【导学号：00680008】
A．－ B.
C. D．－
【解析】 因为a<0，所以sin α＝＝＝－.
【答案】 D
4．若θ是第二象限角，则( )
A．sin >0 B．cos <0
C．tan >0 D．以上均不对
【解析】 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，∴kπ＋<0.21cnjy.com
【答案】 C
5．如果MP，OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，则下列结论正确的是( )
A．MPOM>0
C．MP<0MP>0
【解析】 因为α＝<，所以余弦线大于正弦线，且大于0.
【答案】 D
二、填空题
6．若角α终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，则cos α＝________.
【解析】 ∵过点P(－，y)，∴sin α＝＝y.
又y≠0，∴＝，
∴|OP|＝＝＝＝r，
∴cos α＝＝＝－.
【答案】 －
7．已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为________. 21·cn·jy·com
【解析】 如图：
因为θ∈，所以θ>，根据三角函数线的定义可知AT>MP>OM.
【答案】 AT>MP>OM
三、解答题
8．化简求值：
(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)·sin 750°；
(2)cos＋tan.
【解】 (1)原式＝sin(－4×3 ( http: / / www.21cnjy.com )60°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
9．若角α的终边在直线y＝3x上，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，求m－n的值．
【解】 ∵角α的终边在直线y＝3x上，且sin α<0，∴α是第三象限角，∴m<0，n<0.∵P在直线y＝3x上，∴n＝3m.①www.21-cn-jy.com
∵|OP|＝，∴m2＋n2＝10.②
解①②组成的方程组得m＝－1，n＝－3或m＝1，n＝3(舍去)．
∴m－n＝－1－(－3)＝2.
[能力提升]
1．函数y＝＋的定义域是( )
A．(2kπ，(2k＋1)π)，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z
【解析】 由sin x≥0 ( http: / / www.21cnjy.com )，－cos x≥0得x为第二象限角或y轴非负半轴上的角或x轴非正半轴上的角，即2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z，应选B.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 B
2．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
【解】 ①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P(－4，3)，OP＝5，
sin α＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－，
所以sin α－3cos α＋tan α＝＋－＝.
②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P(4，－3)，OP＝5，
sin α＝－，cos α＝，tan α＝＝－，
所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
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第二讲 任意角的三角函数
任意角的三角函数(一)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如果角θ的终边在第二象限，那么点P(sinθ，cosθ)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若cosα＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2
C．－2 D．－2
3．sin(－140°)cos740°的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
4．如果角α的终边经过点P(sin780°，cos(－330°))，则sinα＝( )
A. B.
C. D．1
5．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2cosα＝( )
A. B．－
C. D．－
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sinθ7．sin＋cos－tan的值为________．
8．已知角α的终边经过点P(3,4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t＝________.21教育网
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
10．判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cos4·tan.
11．若sinαtanα<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
13．计算：
(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；
(2)sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin.
14．已知角θ的终边不在坐标轴上，且|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，试判断＋tanθ的符号．
任意角的三角函数(二)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对三角函数线，下列说法正确的是( )
A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在
D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
3．有三个命题：①和的正弦线长度相等；② 和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
4．使sinx≤cosx成立的x的一个区间是( )
A. B.
C. D.
5．如果<θ<，那么下列各式中正确的是( )
A．cosθC．tanθ二、填空题(每小题5分，共15分)
6．比较大小：sin1________sin(填“>”或“<”)．
7．不等式tanα＋>0的解集是________．
8．若cosθ>sin，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
(1)tanα＝－1；(2)sinα≤－.
11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
12．若θ∈，则sinθ 的取值范围是________．
13．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边．
(1)sinα＝；(2)cosα＝－.
14．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(sinx－)＋.
[学业达标]
一、选择题
1．下列三角函数判断错误的是( )
A．sin 165°>0 B．cos 280°>0
C．tan 170°>0 D．tan 310°<0
2．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(rsin α，rcos α) D．P(rcos α，rsin α)
3．角α的终边上有一点(－a,2a)(a<0)，则sin α的值为( ) 【导学号：00680008】
A．－ B.
C. D．－
4．若θ是第二象限角，则( )
A．sin >0 B．cos <0
C．tan >0 D．以上均不对
5．如果MP，OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，则下列结论正确的是( )
A．MPOM>0
C．MP<0MP>0
二、填空题
6．若角α终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，则cos α＝________.
7．已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为________. 21世纪教育网版权所有
三、解答题
8．化简求值：
(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)·sin 750°；
(2)cos＋tan.
9．若角α的终边在直线y＝3x上，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，求m－n的值．
[能力提升]
1．函数y＝＋的定义域是( )
A．(2kπ，(2k＋1)π)，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z
2．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
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