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第九讲 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.最大值为,最小正周期为,初相为的函数表达式是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
解析:由最小正周期为,排除A、B;由初相为,排除C.
答案:D
2.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:因为y=sin=sin2,所以将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin2=sin的图象.2-1-c-n-j-y
答案:C
3.将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f(x)的图象关于点对称
解析:函数y=sinx的图象向左 ( http: / / www.21cnjy.com )平移个单位长度后,得到函数f(x)=sin=cosx的图象,f(x)=cosx为偶函数,周期为2π;又因为f=cos=0,所以f(x)=cosx的图象不关于直线x=对称;又由f=cos=0,知f(x)=cosx的图象关于点对称.故选D.【版权所有:21教育】
答案:D
4.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A. B.
C. D.
解析:由题意得周期T=2=2π,
∴2π=,即ω=1,
∴f(x)=sin(x+φ),
∴f=sin=±1.
∵0<φ<π,∴<φ+<,
∴φ+=,∴φ=.
答案:A
5.同时具有性质“(1)最小正周期是π;(2)图象关于直线x=对称;(3)在上单调递增”的一个函数是( )21cnjy.com
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
解析:由(1)知T=π=,ω=2,排除A.由(2)(3)知x=时,f(x)取最大值,验证知只有C符合要求.
答案:C
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为________.【来源:21·世纪·教育·网】
解析:将函数y=sinx的图象的横坐标和 ( http: / / www.21cnjy.com )纵坐标同时扩大3倍,所得函数解析式为y=3sinx再把所得图象向右平移3个单位长度,所得函数解析式为y=3sin(x-3)=3sin.
答案:y=3sin
7.在函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的一个周期上,当x=时,有最大值2,当x=时,有最小值-2,则ω=________.
解析:依题意知=-=,所以T=π,又T==π,得ω=2.
答案:2
8.如图所示的曲线是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,则这个函数的解析式是________.
解析:由函数图象可知A=2,T==π,即=π,故ω=2.
又是五点法作图的第五个点,即 2×+φ=2π,则φ=.故所求函数的解析式为y=2sin.
答案:y=2sin
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图像.
解析:(1)ω===2.
(2)由(1)可知f(x)=sin.列表:
2x- 0 π 2π
x
sin 0 1 0 -1 0
作图(如图所示).
10.将函数y=sin的图象先沿x轴向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的,求与最终的图象对应的函数的解析式.21世纪教育网版权所有
解析:将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后,与其对应的函数的解析式为
y=sin=sin,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,则与其对应的函数的解析式为y=sin.2·1·c·n·j·y
11.如果两个函数的图象经过平移后能够重合,那么这两个函数称为“和谐”函数.下列函数中与g(x)=sin能构成“和谐”函数的是( )www-2-1-cnjy-com
A.f(x)=sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin+2
解析:将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度,即得到函数f(x)=sin(x+)+2的图象,故选D.【来源:21cnj*y.co*m】
答案:D
12.关于函数f(x)=2sin,以下说法:①其最小正周期为;②图象关于点对称;③直线x=-是其一条对称轴.其中正确的序号是________.21教育名师原创作品
解析:T==,故①正确;
x=时,
f(x)=2sin
=2sin=0,
所以图象关于点对称,故②正确.
x=-时,
f(x)=2sin=2sin=-2,
所以直线x=-是其一条对称轴,故③正确.
答案:①②③
13.函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的部分图象如图所示.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的取值范围.
解析:(1)由函数图象得A=1,=-=,所以T=2π,则ω=1.
将点代入得sin=1,而-<φ<,
所以φ=,因此函数的解析式为
f(x)=sin.
(2)由于-π≤x≤-,-≤x+≤,所以-1≤sin≤,
所以f(x)的取值范围是.
14.已知函数f(x)=Asin( ( http: / / www.21cnjy.com )ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当x=时,f(x)取得最大值3;当x=π时,f(x)取得最小值-3.www.21-cn-jy.com
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若x∈时,函数h(x)=2f(x)+1-m有两个零点,求实数m的取值范围.
解析:(1)由题意,易知A=3,T=2=π,∴ω==2.由2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z.【出处:21教育名师】
又∵-π<φ<π,∴φ=,∴f(x)=3sin.
(2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递减区间为
,k∈Z.
(3)由题意知,方程sin=在区间上有两个实根.∵x∈,
∴2x+∈,∴∈,
∴m∈[1+3,7).
[学业达标]
一、选择题
1.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【解析】 y=sin=sin,故要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位.
【答案】 D
2.要得到y=tan 2x的图象,只需把y=tan的图象( )
A.向左平移个单位得到
B.向左平移个单位得到
C.向右平移个单位得到
D.向右平移个单位得到
【解析】 设向左平移φ个单位得到y=tan 2x的图象,y=tan
=tan,∴2φ-=0,∴φ=,
∴向左平移个单位得到.
【答案】 B
3.函数y=sin(ωx+φ)在区间上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( ) 【导学号:00680026】
A. B.
C. D.
【解析】 因为函数的最大值为1,最 ( http: / / www.21cnjy.com )小值为-1,且在区间上单调递减,又函数值从1减小到-1,所以-=为半周期,则周期为π,ω===2,此时原式为y=sin(2x+φ),又由函数过点,代入可得φ=,因此函数为y=sin,令x=0,可得y=.
【答案】 A
4.若函数f(x)=sin-1(ω>0)的周期为,则函数f(x)图象的对称轴方程为( )
A.x=kπ+(k∈Z)
B.x=kπ-(k∈Z)
C.x=+(k∈Z)
D.x=-(k∈Z)
【解析】 由函数y=sin-1的周期为,知=,又ω>0,所以ω=3,则对称轴方程为3x+=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z.
【答案】 C
5.下列函数中,图象的一部分是如图1 5 3的是( )
图1 5 3
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
【解析】 由图象知,T=-=,∴T=π=,∴ω=2,把y=cos 2x的图象向右平移个单位即得所给图象,21·cn·jy·com
∴所求函数为y=cos 2=cos.
【答案】 D
二、填空题
6.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ≤π)的图象如图1 5 4所示,则φ=________.
图1 5 4
【解析】 由题意得=2π-π,
∴T=π,ω=.
又由x=π时,y=-1,得-1=sin,
-<π+φ<π,
∴π+φ=π,
∴φ=π.
【答案】 π
7.若g(x)=2sin+a在上的最大值与最小值之和为7,则a=________.
【解析】 当0≤x≤时,≤2x+≤,≤sin≤1,所以1+a≤2sin+a≤2+a,由1+a+2+a=7,得a=2.21教育网
【答案】 2
三、解答题
8.函数y=Asin(ωx+ ( http: / / www.21cnjy.com )φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3.21·世纪*教育网
(1)求此函数的解析式;
(2)求此函数的单调递增区间.
【解】 (1)由题意得A=3,T=5π,所以T=10π,所以ω==,
则y=3sin.
因为点(π,3)在此函数图象上,
则3sin=3.
又因为0≤φ≤,有φ=-=,
所以y=3sin.
(2)当-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ,k∈Z时,
函数y=3sin单调递增.
所以此函数的单调递增区间为[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值.21*cnjy*com
【解】 由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
即函数f(x)的图象关于y轴对称,
∴f(x)在x=0时取得最值,
即sin φ=1或sin φ=-1.
依题设0≤φ≤π,解得φ=.
由f(x)的图象关于点M对称,可知
sin=0,
∴ω+=kπ(k∈Z),
解得ω=-,k∈Z,
又f(x)在上是单调函数,
所以T≥π,即≥π,
又ω>0,∴0<ω≤2.
∴当k=1时,ω=;
当k=2时,ω=2.
∴φ=,ω=2或.
[能力提升]
1.为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos 2x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】 y=sin
=cos=cos
=cos=cos 2.
故选B.
【答案】 B
2.将函数f(x)=sin的图象分别向左、向右平移φ个单位后,所得的图象都关于y轴对称,则φ的最小值分别为( )21*cnjy*com
A., B.,
C., D.,
【解析】 函数f(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象向左平移φ个单位得到函数g(x)=sin的图象,向右平移φ个单位得函数h(x)=sin的图象,于是,2φ+=+kπ,k∈Z,-2φ+=+kπ,k∈Z,于是φ的最小值分别为,.故选A.
【答案】 A
3.已知定义在区间上的函数f(x)=A ( http: / / www.21cnjy.com )sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x=-对称,当x∈时,f(x)的图象如图1 5 5所示.
图1 5 5
(1)求f(x)在上的解析式;
(2)求方程f(x)=的解.
【解】 (1)由题图知:A=1,
T=4=2π,则ω==1,
在x∈时,将代入f(x)得,
f=sin=1,因为0<φ≤π,所以φ=,
所以在x∈时,f(x)=sin.
同理在x∈时,
f(x)=sin.
综上,f(x)=
(2)由f(x)=在区间内可得x1=,x2=-.
因为y=f(x)关于x=-对称,
有x3=-,x4=-.
则f(x)=的解为-,-,,-.
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第九讲 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.最大值为,最小正周期为,初相为的函数表达式是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
2.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f(x)的图象关于点对称
4.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A. B.
C. D.
5.同时具有性质“(1)最小正周期是π;(2)图象关于直线x=对称;(3)在上单调递增”的一个函数是( )21·世纪*教育网
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为________.www-2-1-cnjy-com
7.在函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的一个周期上,当x=时,有最大值2,当x=时,有最小值-2,则ω=________.www.21-cn-jy.com
8.如图所示的曲线是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,则这个函数的解析式是________.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图像.
10.将函数y=sin的图象先沿x轴向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的,求与最终的图象对应的函数的解析式.2-1-c-n-j-y
11.如果两个函数的图象经过平移后能够重合,那么这两个函数称为“和谐”函数.下列函数中与g(x)=sin能构成“和谐”函数的是( )21cnjy.com
A.f(x)=sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin+2
12.关于函数f(x)=2sin,以下说法:①其最小正周期为;②图象关于点对称;③直线x=-是其一条对称轴.其中正确的序号是________.21*cnjy*com
13.函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的部分图象如图所示.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的取值范围.
14.已知函数f(x)=Asi ( http: / / www.21cnjy.com )n(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当x=时,f(x)取得最大值3;当x=π时,f(x)取得最小值-3.【来源:21·世纪·教育·网】
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若x∈时,函数h(x)=2f(x)+1-m有两个零点,求实数m的取值范围.
[学业达标]
一、选择题
1.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
2.要得到y=tan 2x的图象,只需把y=tan的图象( )
A.向左平移个单位得到
B.向左平移个单位得到
C.向右平移个单位得到
D.向右平移个单位得到
3.函数y=sin(ωx+φ ( http: / / www.21cnjy.com ))在区间上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( ) 【导学号:00680026】【来源:21cnj*y.co*m】
A. B.
C. D.
4.若函数f(x)=sin-1(ω>0)的周期为,则函数f(x)图象的对称轴方程为( )
A.x=kπ+(k∈Z)
B.x=kπ-(k∈Z)
C.x=+(k∈Z)
D.x=-(k∈Z)
5.下列函数中,图象的一部分是如图1 5 3的是( )
图1 5 3
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
二、填空题
6.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ≤π)的图象如图1 5 4所示,则φ=________.
图1 5 4
7.若g(x)=2sin+a在上的最大值与最小值之和为7,则a=________.
三、解答题
8.函数y=Asin(ωx+φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3.21世纪教育网版权所有
(1)求此函数的解析式;
(2)求此函数的单调递增区间.
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值.21教育网
[能力提升]
1.为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos 2x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.将函数f(x)=sin的图象分别向左、向右平移φ个单位后,所得的图象都关于y轴对称,则φ的最小值分别为( )21·cn·jy·com
A., B.,
C., D.,
3.已知定义在区间上的函数f(x)=A ( http: / / www.21cnjy.com )sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x=-对称,当x∈时,f(x)的图象如图1 5 5所示.2·1·c·n·j·y
图1 5 5
(1)求f(x)在上的解析式;
(2)求方程f(x)=的解.
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