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第二讲 任意角的三角函数
1．已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为( )
A. B. C．－ D．－
2．sin 的值是( )
A．－ B． C．－ D．
3．(2017·宁波期末)若角α的终边经过点P(－1，－1)，则( )
A．tan α＝1 B．sin α＝－1
C．cos α＝ D．sin α＝
4．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
一、选择题
1．sin(－315°)的值是( )
A．－ B．－ C. D.
2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于( )
A. B．－ C．－ D．－
3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
5．sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
6．点P从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标是( )
A. B.
C. D.
7．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
8．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.
9．已知α的顶点在原点，始边在x轴上，终边与单位圆相交于点M，则cos α＝________.
10．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________．
11．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，则sin θ＋cos θ＝________.
12．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．
13．sin π＋cos π＋cos(－5π)＋tan ＝________.
14．函数y＝＋－的值域是________________．
三、解答题
15．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
二、任意角的三角函数(二)
1.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线为PM，正切线为A′T′
B．正弦线为MP，正切线为A′T′
C．正弦线为MP，正切线为AT
D．正弦线为PM，正切线为AT
2．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos α
B．tan αC．sin αD．cos α3．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在直线y＝x上
D．在直线y＝x或y＝－x上
4．已知角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则角α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、四象限的角平分线上
D．第一、三象限的角平分线上
5．解不等式3tan α>－.
一、选择题
1．函数y＝tan的定义域为( )
A. B.
C. D.
2．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
A．aC．b3．如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPC．MP>OM>0 D．OM>MP>0
4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
5．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
6．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β
B．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β
D．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β
二、填空题
8．函数y＝的定义域为________．
9．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是________．
10．若cos θ>sin ，利用三角函数线得角θ的取值范围是________________．
11．函数f(x)＝的定义域为________．
三、解答题
12．已知－≤sin θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．
四、探究与拓展
13．函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域为________．
14．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2，求θ的范围．
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第二讲 任意角的三角函数
1．已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为( )
A. B. C．－ D．－
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 D
2．sin 的值是( )
A．－ B． C．－ D．
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案 B
解析 sin＝sin＝sin＝.
3．(2017·宁波期末)若角α的终边经过点P(－1，－1)，则( )
A．tan α＝1 B．sin α＝－1
C．cos α＝ D．sin α＝
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 A
解析 由点P的坐标计算得：r＝＝，则
sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝1.
4．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 D
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.
5．已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 ①当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
则有r＝＝25k，
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
②当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．
2．角α的三角函数值的符 ( http: / / www.21cnjy.com )号只与角α的终边所在象限有关，由角α的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．【来源：21·世纪·教育·网】
3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.2-1-c-n-j-y
一、选择题
1．sin(－315°)的值是( )
A．－ B．－ C. D.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案 C
解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.
2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于( )
A. B．－ C．－ D．－
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 C
解析 由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，∴sin α＝－.
3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 D
4．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 D
解析 ∵cos α＝＝＝x，
∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3，
∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故选D.
5．sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 A
解析 ∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
6．点P从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标是( )
A. B.
C. D.
考点 任意角的三角函数
题点 任意角三角函数的定义
答案 C
解析 根据题意可得：xQ＝cos＝－，
yQ＝sin＝－.
则Q点的坐标是.
7．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 C
解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴∴θ为第三象限角．
二、填空题
8．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案
解析 tan 405°－sin 450°＋c ( http: / / www.21cnjy.com )os 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.21世纪教育网版权所有
9．已知α的顶点在原点，始边在x轴上，终边与单位圆相交于点M，则cos α＝________.
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
答案 －
10．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 (－2,3]
解析 ∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，
sin α>0，cos α≤0，
∴解得－211．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，则sin θ＋cos θ＝________.
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
答案 0或－
解析 ∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－.
又tan θ＝－x，
∴x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，
因此sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
因此sin θ＋cos θ＝－.
故sin θ＋cos θ的值为0或－.
12．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
答案 ，，或－，－，
解析 因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，
tan α＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，cos α＝－＝－，
tan α＝＝.
13．sin π＋cos π＋cos(－5π)＋tan ＝________.
考点 诱导公式一
题点 诱导公式一
答案 －1
解析 原式＝sin π＋cos ＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
14．函数y＝＋－的值域是________________．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 {－4,0,2}
解析 由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，
sin xcos x>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，
sin xcos x<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，
sin xcos x>0，y＝－4；
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，
sin xcos x<0，y＝2.
故函数y＝＋－的值域为{－4,0,2}．
三、解答题
15．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
考点 任意角的三角函数
题点 用定义求三角函数的值
解 (1)∵＝－，
∴sin α＜0.①
∵lg(cos α)有意义，
∴cos α＞0.②
由①②得角α的终边在第四象限．
(2)∵点M在单位圆上，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－.
由三角函数定义知，sin α＝－.
二、任意角的三角函数(二)
1.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线为PM，正切线为A′T′
B．正弦线为MP，正切线为A′T′
C．正弦线为MP，正切线为AT
D．正弦线为PM，正切线为AT
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
答案 C
2．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αB．tan αC．sin αD．cos α考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 A
解析 方法一 (特值法)令α＝，
则cos α＝，tan α＝，sin α＝，
故cos α方法二 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，则OM3．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在直线y＝x上
D．在直线y＝x或y＝－x上
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
答案 B
解析 由题意|sin α|＝1，∴sin α＝±1，则角α的终边在y轴上，故选B.
4．已知角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则角α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、四象限的角平分线上
D．第一、三象限的角平分线上
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
答案 C
解析 由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则α的终边在第二、四象限的角平分线上．
5．解不等式3tan α>－.
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 要使3tan α>－，即tan α>－.
由正切线知－＋kπ<α<＋kπ，k∈Z.
所以不等式的解集为，k∈Z.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特 ( http: / / www.21cnjy.com )定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．21cnjy.com
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.21·cn·jy·com
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线是三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了．www.21-cn-jy.com
一、选择题
1．函数y＝tan的定义域为( )
A. B.
C. D.
考点 正切函数的定义域、值域
题点 正切函数的定义域
答案 C
解析 ∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z.
2．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
A．aC．b考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 D
解析 ∵<<，作的三角函数线，
则sin＝MP，cos＝OM，
tan＝AT，
∴OM∴b3．如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPC．MP>OM>0 D．OM>MP>0
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 D
解析 0<<，作三角函数线可知OM>MP>0.
4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案 D
解析 角α的取值范围为图中阴影部分，
即∪.
5．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
考点 单位圆与三角函数线
题点 三角函数线的作法
答案 C
解析 和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.21·世纪*教育网
6．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 D
解析 因为＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b.
sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，
所以sin 3－cos 3＞0.
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．
7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β
B．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β
D．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 D
解析 如图(1)，α，β的终 ( http: / / www.21cnjy.com )边分别为OP，OQ，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时OMNQ，即sin α>sin β，所以ACNQ，即sin α>sin β，所以OMtan β，故选D.www-2-1-cnjy-com
(1)
二、填空题
8．函数y＝的定义域为________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案 (k∈Z)
9．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线比较大小
答案 cos 1解析 由题意<1<，在单位圆中作 ( http: / / www.21cnjy.com )出锐角α＝1的正切线、正弦线、余弦线，可知正切线最长，余弦线最短，所以有cos 110．若cos θ>sin ，利用三角函数线得角θ的取值范围是________________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案 (k∈Z)
解析 因为cos θ>sin ，
所以cos θ>sin＝sin ＝，
易知角θ的取值范围是(k∈Z)．
11．函数f(x)＝的定义域为________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案 (k∈Z)
解析 如图所示．
三、解答题
12．已知－≤sin θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 由三角函数线可知
sin ＝sin ＝，
sin ＝sin＝－，
且－≤sin θ<，
如图，画出单位圆，阴影部分即为所求．
故θ的取值集合是∪(k∈Z)．
四、探究与拓展
13．函数y＝logsin x(2cos x＋1)的定义域为________．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
答案
解析 由题意可知，要使函数有意义，则需
如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求．
所以所求函数的定义域为.
14．若α，β是关于x的一元二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2θ＝0的两实根，且|α－β|≤2，求θ的范围．
考点 单位圆与三角函数线
题点 利用三角函数线解不等式
解 ∵方程有两实根，
∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos2θ≥0，
∴cos θ≥－.①
∵|α－β|≤2，∴(α＋β)2－4αβ≤8.
由根与系数的关系，得
α＋β＝－2(cos θ＋1)，αβ＝cos2θ，
∴4(cos θ＋1)2－4cos2θ≤8，即cos θ≤.②
由①②得－≤cos θ≤，
利用单位圆中的三角函数线可知＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z或＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z.
∴＋kπ≤θ≤＋kπ，k∈Z.
即θ的范围是(k∈Z)．
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