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第六讲 正弦函数、余弦函数的性质
一、正弦函数、余弦函数的性质(一)
1．(2017·金华十校期末)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性( )21教育网
A．与ω有关，且与φ有关 B．与ω有关，但与φ无关
C．与ω无关，且与φ无关 D．与ω无关，但与φ有关
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
3．函数y＝sin的最小正周期为2，则ω的值为________．
4．函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________.21cnjy.com
5．(2017·广州六中期末)已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋1，若f(2 018)＝7，则f(－2 018)＝________.
一、选择题
1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
2．下列函数中，周期为2π的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝ D．y＝|sin 2x|
3．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
4．函数f(x)＝3sin是( )
A．周期为3π的偶函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数
D．周期为的偶函数
5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
6．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
7．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为( )
A．3 B．6 C．12 D．24
二、填空题
8．函数f(x)＝cos的周期是________．
9．(2017·海南国兴中学期末)函数y＝＋2的最小正周期是________．
10．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
11．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________.21·cn·jy·com
三、解答题
12．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
13．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．
15．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值．
二、正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．函数y＝cos x－1的最小值是( )
A．0 B．1 C．－2 D．－1
2．函数y＝sin 2x的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
3．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sin π>sin D．sin 2>cos 1
4．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
5．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
一、选择题
1．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有( )
A．最大值1，最小值－1
B．最大值1，最小值－
C．最大值2，最小值－2
D．最大值2，最小值－1
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
3．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°
B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°4．(2017·九江高一检测)y＝的最小值是( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
5．(2017·全国Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A. B．1 C. D.
6．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于( )
A. B. C．2π D．4π
7．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的值可为( )
A. B.
C．2 D．3
二、填空题
8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．
9．函数y＝2sin的值域是________．
10．(2017·绍兴柯桥区期末)函数y＝cos的单调递增区间为____________________．
11．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
三、解答题
12．求下列函数的单调递增区间．
(1)y＝1－sin ；(2)y＝sin.
13．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.
四、探究与拓展
14．已知奇函数f(x)在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( )
A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β)
C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)15．已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．21世纪教育网版权所有
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第六讲 正弦函数、余弦函数的性质
一、正弦函数、余弦函数的性质(一)
1．(2017·金华十校期末)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性( )21cnjy.com
A．与ω有关，且与φ有关 B．与ω有关，但与φ无关
C．与ω无关，且与φ无关 D．与ω无关，但与φ有关
考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性
答案 D
解析 因为当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos ωx，为偶函数；
当φ＝＋kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)
＝±sin ωx，为奇函数．
所以f(x)的奇偶性与ω无关，但与φ有关．
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性
答案 B
解析 ∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
3．函数y＝sin的最小正周期为2，则ω的值为________．
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 ±π
解析 T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.
4．函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________.www.21-cn-jy.com
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案
解析 f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝.
5．(2017·广州六中期末)已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋1，若f(2 018)＝7，则f(－2 018)＝________.
考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性
答案 －5
解析 由f(2 018)＝2 018a＋bsin 2 018＋1＝7，
得2 018a＋bsin 2 018＝6，
∴f(－2 018)＝－2 018a－bsin 2 018＋1
＝－(2 018a＋bsin 2 018)＋1＝－6＋1＝－5.
1．求函数的最小正周期的常用方法
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2．判断函数的奇偶性，必须坚 ( http: / / www.21cnjy.com )持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.
一、选择题
1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 D
解析 对于D，x∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．
2．下列函数中，周期为2π的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝ D．y＝|sin 2x|
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 C
解析 y＝sin 的周期为T＝＝4π；
y＝sin 2π的周期为T＝＝π；
y＝的周期为T＝2π；
y＝|sin 2x|的周期为T＝.
故选C.
3．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 B
4．函数f(x)＝3sin是( )
A．周期为3π的偶函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数
D．周期为的偶函数
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 A
5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 D
解析 y＝cos|2x|是偶函数，y＝|s ( http: / / www.21cnjy.com )in x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T＝π.2·1·c·n·j·y
6．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性
答案 D
解析 由题意知，当1－sin x≠0，
即sin x≠1时，
y＝＝|sin x|，
所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数．
7．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为( )
A．3 B．6 C．12 D．24
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 B
解析 函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，又＝，解得ω＝6.21·世纪*教育网
二、填空题
8．函数f(x)＝cos的周期是________．
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 6
解析 T＝＝＝6.
9．(2017·海南国兴中学期末)函数y＝＋2的最小正周期是________．
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案
解析 ∵函数y＝sin 2x的最小正周期T＝π，
∴函数y＝＋2的最小正周期是.
10．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案
解析 f＝f
＝f＝sin ＝.
11．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________.21世纪教育网版权所有
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案
解析 因为f(x)·f(x＋2)＝13，
所以f(x＋2)＝，f(x＋4)＝＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.
三、解答题
12．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性
题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性
解 (1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
∵f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1解得定义域为.
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
13．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
解 当x∈时，3π－x∈，
∵当x∈时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
答案 6
解析 ∵T＝，1＜＜4，ω>0，则＜ω＜2π.
∴正整数ω的最大值为6.
15．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值．
考点 正弦函数、余弦函数的周期性
题点 正弦函数、余弦函数的周期性
解 函数y＝Asin ωx的最小正周期为 ( http: / / www.21cnjy.com )，因为在每一个周期内，函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asin ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在区间[0,1]内至少含49个周期，
即解得ω≥，
所以ω的最小值为.
二、正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．函数y＝cos x－1的最小值是( )
A．0 B．1 C．－2 D．－1
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 余弦函数的最大值与最小值
答案 C
解析 cos x∈[－1,1]，所以y＝cos x－1的最小值为－2.
2．函数y＝sin 2x的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断
答案 B
解析 由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴y＝sin 2x的单调递减区间是(k∈Z)．
3．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sin π>sin D．sin 2>cos 1
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 D
解析 ∵sin 2＝cos＝cos，
且0<2－<1<π，∴cos>cos 1，
即sin 2>cos 1.故选D.
4．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 (－π，0]
解析 因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π5．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
解 ∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)( ( http: / / www.21cnjy.com )A>0，ω>0)的单调区间的方法把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．【来源：21·世纪·教育·网】
3．求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.www-2-1-cnjy-com
一、选择题
1．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有( )
A．最大值1，最小值－1
B．最大值1，最小值－
C．最大值2，最小值－2
D．最大值2，最小值－1
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
答案 D
解析 因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，
所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2.
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断
答案 A
3．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 C
解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
∴由正弦函数的单调性，得sin 11°即sin 11°4．(2017·九江高一检测)y＝的最小值是( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
答案 B
解析 由y＝＝2－，
当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2.
5．(2017·全国Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A. B．1 C. D.
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
答案 A
解析 ∵＋＝，
∴f(x)＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋sin
＝sin≤.
∴f(x)max＝.
故选A.
6．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于( )
A. B. C．2π D．4π
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
答案 C
解析 作出y＝sin x的一个简图，如图所示，
∵函数的值域为，
且sin ＝sin ＝，sin ＝－1，
∴定义域[a，b]中，b－a的最小值为－＝，
定义域[a，b]中，b－a的最大值为2π＋－＝，
故可得，最大值与最小值之和为2π.
7．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的值可为( )
A. B.
C．2 D．3
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 A
解析 由题意知，＝，即T＝，＝，
∴ω＝.
二、填空题
8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 sin 3解析 ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 39．函数y＝2sin的值域是________．
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
答案 [0,2]
解析 ∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1，∴y∈[0,2]．
10．(2017·绍兴柯桥区期末)函数y＝cos的单调递增区间为____________________．
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断
答案 (k∈Z)
11．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
答案
解析 ∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<，
∵f(x)max＝2sin ＝，
∴sin ＝，＝，
即ω＝.
三、解答题
12．求下列函数的单调递增区间．
(1)y＝1－sin ；(2)y＝sin.
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断
解 (1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin 的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．
(2)要求函数y＝sin的单调递增区间，
即求使y＝sin>0且单调递减的区间．
∴2kπ＋≤－<2kπ＋π，k∈Z，
整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
13．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题
解 (1)当x∈时，2x－∈，
由函数图象知，
f(x)＝sin∈＝.
所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1＝22＋.
因为x∈，所以≤sin x≤1.
当sin x＝1时，ymax＝5；
当sin x＝时，ymin＝.
所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为5，.
四、探究与拓展
14．已知奇函数f(x)在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( )
A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β)
C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 D
解析 由题意，得α＋β>，∴>α>－β>0，
∴sin α>sin，即1>sin α>cos β>0，
∴－1<－sin α<－cos β<0.
∵奇函数f(x)在[－1,0]上单调递减，
∴f(－sin α)>f(－cos β)，
∴－f(sin α)>－f(cos β)，∴f(sin α)15．已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．21教育网
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
又a>0，∴f(x)max＝a＋b＝，
f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
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