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第三讲 同角三角函数的基本关系
1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值为( )
A．－ B. C．± D．±
2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B．－ C．－ D.
3．化简 的结果是( )
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
4．已知tan θ＝2，则等于( )
A．－ B. C．－ D.
5．求证：＝.
一、选择题
1．设θ∈，若sin θ＝，则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
2．等于( )
A．sin B．cos C．－sin D．－cos
3．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．± C. D．－
4．函数y＝＋的值域是( )
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
5．(2017·四川成都树德中学期中)已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－ C. D．－
6．若π<α<，则 ＋的化简结果为( )
A. B．－ C. D．－
7．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B. C．－ D.
.
二、填空题
8．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝ .
9．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝ .
10．在△ABC中，sin A＝ ，则角A＝ .
11．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝ ，tan2α＋＝ .21世纪教育网版权所有
12．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋＝ .
三、解答题
13．已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
四、探究与拓展
14．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为 ．
15．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
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第三讲 同角三角函数的基本关系
1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值为( )
A．－ B. C．± D．±
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的商数关系
答案 A
解析 ∵α为第二象限角，sin α＝，
∴cos α＝－，tan α＝－.
2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B．－ C．－ D.
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 C
解析 由题意得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.故选C.
3．化简 的结果是( )
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 C
解析 ＝＝，
∵<<π，∴cos<0，
∴＝－cos，
即＝－cos，故选C.
4．(2018·牌头中学月考)已知tan θ＝2，则等于( )
A．－ B. C．－ D.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 B
5．求证：＝.
考点 运用基本关系式化简和证明
题点 运用基本关系式证明
证明 方法一 (比较法——作差)
∵－＝
＝＝0，
∴＝.
方法二 (比较法——作商)
∵＝＝
＝＝＝1.
∴＝.
1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin ( http: / / www.21cnjy.com ) α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．21世纪教育网版权所有
4．在进行三角函数式的化简或求值时 ( http: / / www.21cnjy.com )，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．21cnjy.com
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活 ( http: / / www.21cnjy.com )运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.21·cn·jy·com
一、选择题
1．(2017·绍兴期末)设θ∈，若sin θ＝，则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 D
解析 ∵θ∈，sin θ＝，
则cos θ＝＝＝.
2．等于( )
A．sin B．cos C．－sin D．－cos
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 A
解析 ∵0<<，∴sin >0，
∴＝＝sin .
3．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．± C. D．－
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 C
解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，
解得sin θcos θ＝.
4．函数y＝＋的值域是( )
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 C
解析 y＝＋.
当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；
当x为第二、四象限角时，y＝0.
5．(2017·四川成都树德中学期中)已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 同角三角函数的基本关系式
题点 同角三角函数的平方关系
答案 A
解析 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，
∴sin2θcos2θ＝，
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，
∴sin θcos θ＝.
6．若π<α<，则 ＋的化简结果为( )
A. B．－ C. D．－
考点 运用基本关系式化简和证明
题点 运用基本关系式化简
答案 D
解析 原式＝ ＋
＝＋＝，
∵π<α<，∴原式＝－.
7．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B. C．－ D.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 D
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
二、填空题
8．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 －
解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，
且sin α＝－，
故原式＝＝
＝sin α(1＋sin α)＝×＝－.
9．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 3或－
解析 因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
故tan α＝＝－或3.
10．在△ABC中，sin A＝ ，则角A＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案
解析 由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝ 两边平方得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
11．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝ ，tan2α＋＝ .21教育网
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 7
解析 ∵tan α＋＝3，∴＋＝3，
即＝3，
∴sin αcos α＝，
tan2α＋＝2－2tan α·
＝9－2＝7.
12．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋＝ .
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 tan α＋＝＋
＝＝.
∵sin α－cos α＝－，∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－，∴＝－8，
∴tan α＋＝－8.
三、解答题
13．已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 由已知＝，
∴＝，解得tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝＝－.
四、探究与拓展
14．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为 ．
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
答案 1
解析 ∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.
当sin α＝0时，cos α＝1，
此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时，sin α＝1，
也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
15．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
考点 运用基本关系式求三角函数值
题点 运用基本关系式求三角函数值
解 (1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝，①
sin θ·cos θ＝m.②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，
代入②得m＝.
(2)＋＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)由(1)得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.
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