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第四讲 三角函数的诱导公式
1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( )
A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π
2．sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
3．利用诱导公式化简：
sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________.
4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______．
5．化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α)．
一、选择题
1．cos(π＋x)等于( )
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
2．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B. C．－ D.
4．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B．－
C. D．－
6．已知n为整数，化简所得的结果是( )
A．tan nα B．－tan nα
C．tan α D．－tan α
7．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A. B．－
C．± D．以上都不对
二、填空题
8．化简＝________.
9.的值是________．
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bc ( http: / / www.21cnjy.com )os(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数，若f(2 017)＝－1，则f(2 018)＝________.
11．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
三、解答题
12．已知角α的终边经过单位圆上的点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
四、探究与拓展
13．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
14．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
二、三角函数的诱导公式(二)
1．已知sin α＝，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
2．若cos(2π－α)＝，则sin等于( )
A．－ B．－
C. D．±
3．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－ C. D．－
4．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2 C．0 D.
5．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值．
一、选择题
1．已知cos α＝，则sin等于( )
A. B．－ C. D．－
2．已知sin＝，那么cos α等于( )
A．－ B．－
C. D.
3．化简sin·cos·tan的结果是( )
A．1 B．sin2α C．－cos2α D．－1
4．已知sin 10°＝k，则cos 620°的值为( )
A．k B．－k C．±k D．不确定
5．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
6．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B D．sin＝cos
7．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
二、填空题
8．化简＝ .
9．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝ .
10．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝ .
11．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ．
①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；
②若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝；
③若α≠(k∈Z)，则tan＝.
三、解答题
12．已知角α的终边经过点P(－4,3)，求
的值．
13．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
四、探究与拓展
14．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则＝ .
15．已知α是第四象限角，且f(α)＝.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
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第四讲 三角函数的诱导公式
1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( )
A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π
考点 公式二、三、四
题点 公式四
答案 C
解析 tan(π－α)＝－tan α＝－4.
2．sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
考点 公式二、三、四
题点 公式二
答案 A
解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.
3．利用诱导公式化简：
sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________.
考点 公式二、三、四
题点 公式四
答案 sin x －sin x
4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______．
考点 公式二、三、四
题点 公式二
答案 －
解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
＝tan 60°＝－＝，即a＝－.
5．化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α)．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)
＝·sin α·cos α＝cos2α.
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0～2π之间的角求值
公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三 将负角转化为正角求值
公式四 将角转化为0～之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不 ( http: / / www.21cnjy.com )变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．21世纪教育网版权所有
3．已知角求值问题，一般要利用诱导 ( http: / / www.21cnjy.com )公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．
一、选择题
1．cos(π＋x)等于( )
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
考点 公式二、三、四
题点 公式二
答案 B
解析 由诱导公式得cos(π＋x)＝－cos x.
2．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 公式二、三、四
题点 公式四
答案 C
解析 sin＝sin
＝sin＝.
3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B. C．－ D.
考点 公式二、三、四
题点 公式二
答案 B
解析 因为sin(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝－，
又因为α是第四象限角，
所以cos(α－2π)＝cos α＝
＝＝.
4．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 D
解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B．－
C. D．－
考点 公式二、三、四
题点 公式三
答案 B
解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝，则tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
6．已知n为整数，化简所得的结果是( )
A．tan nα B．－tan nα
C．tan α D．－tan α
考点 公式二、三、四
题点 公式二
答案 C
解析 当n＝2k，k∈Z时，＝
＝＝tan α；
当n＝2k＋1，k∈Z时，＝
＝＝＝tan α.故选C.
7．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A. B．－
C．± D．以上都不对
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 B
解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝2－2＝－，
α∈，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－
＝－ ＝－.
二、填空题
8．化简＝________.
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 1
解析 ＝
＝＝＝1.
9.的值是________．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 －2
解析 原式＝
＝
＝
＝＝＝－2.
10．设f(x)＝asin(π ( http: / / www.21cnjy.com )x＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数，若f(2 017)＝－1，则f(2 018)＝________.
考点 公式二、三、四
题点 公式二
答案 1
解析 ∵f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)
＝asin(π＋2 017π＋α)＋bcos(π＋2 017π＋β)
＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)
＝－f(2 017)，
又f(2 017)＝－1，∴f(2 018)＝1.
11．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 b＞a＞c
解析 ∵a＝－tan＝－tan ＝－，
b＝cos＝cos ＝，
c＝－sin＝－sin＝－，
∴b＞a＞c.
三、解答题
12．已知角α的终边经过单位圆上的点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)∵点P在单位圆上，
∴由正弦的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·＝＝，
由余弦的定义得cos α＝，故原式＝.
四、探究与拓展
13．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 －2
解析 因为f＝sin
＝sin＝sin＝；
f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－，
所以f＋f＝－2.
14．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解 (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.又α是第三象限角，
∴cos α＝－.∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－.
二、三角函数的诱导公式(二)
1．已知sin α＝，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式六
答案 C
解析 cos＝－sin α＝－.
2．若cos(2π－α)＝，则sin等于( )
A．－ B．－
C. D．±
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
答案 A
解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，
∴sin＝－cos α＝－.
3．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－ C. D．－
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式五
答案 C
解析 cos＝cos
＝sin＝.
4．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2 C．0 D.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
答案 B
解析 ＝
＝＝＝－2.
5．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
解 ∵sin(5π－θ)＋sin
＝sin(π－θ)＋sin
＝sin θ＋cos θ＝，
∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]
＝×＝，
∴sin4＋cos4＝cos4θ＋sin4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×2＝.
1．诱导公式的分类及其记忆方式
(1)诱导公式分为两大类：
①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π( ( http: / / www.21cnjy.com )k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．21教育网
②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．21·cn·jy·com
(2)以上两类公式可以归纳为：k·＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．www.21-cn-jy.com
2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成内的三角函数值”这种方式求解．【来源：21·世纪·教育·网】
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：
一、选择题
1．已知cos α＝，则sin等于( )
A. B．－ C. D．－
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式六
答案 A
解析 sin＝cos α＝.
2．已知sin＝，那么cos α等于( )
A．－ B．－
C. D.
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式六
答案 C
解析 sin＝cos α，故cos α＝，故选C.
3．化简sin·cos·tan的结果是( )
A．1 B．sin2α C．－cos2α D．－1
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
答案 C
解析 因为sin＝cos α，
cos＝cos＝－sin α，
tan＝＝，
所以原式＝cos α(－sin α)＝－cos2α，故选C.
4．已知sin 10°＝k，则cos 620°的值为( )
A．k B．－k C．±k D．不确定
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
答案 B
解析 cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k.2·1·c·n·j·y
5．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
答案 A
解析 f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
6．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B D．sin＝cos
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式化简
答案 D
解析 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A，B项不正确；
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C项不正确；
∵B＋C＝π－A，
∴sin＝sin＝cos，故D项正确．
7．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
答案 C
解析 ∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝.
故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－.
二、填空题
8．化简＝ .
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式化简
答案 －1
解析 原式＝
＝＝－1.
9．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝ .
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式六
答案
解析 ∵cos α＝，且α是第四象限角，
∴sin α＝－ ＝－ ＝－.
∴cos＝－sin α＝.
10．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝ .
考点 诱导公式五、六
题点 诱导公式五
答案
解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°21·世纪*教育网
＝44＋＝.
11．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ．
①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；
②若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝；
③若α≠(k∈Z)，则tan＝.
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式化简
答案 ③
解析 由诱导公式二，知α∈R时，sin(π ( http: / / www.21cnjy.com )＋α)＝－sin α，所以①错误．当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝，当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－，所以②错误．若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，所以③正确．
三、解答题
12．已知角α的终边经过点P(－4,3)，求
的值．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
解 ∵角α的终边经过点P(－4,3)，
∴tan α＝＝－，
∴
＝＝tan α＝－.
13．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
解 ∵sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α，
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝，③
sin α－cos α＝，④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
四、探究与拓展
14．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则＝ .
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式化简
答案 －
解析 ∵sin(α－3π)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝＝＝＝－.21cnjy.com
15．已知α是第四象限角，且f(α)＝.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
考点 诱导公式的综合应用
题点 综合运用诱导公式求值
解 f(α)＝
＝＝.
(1)∵cos＝，
∴cos＝，
∴cos＝，
∴sin α＝－，∴f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1 860°时，f(α)＝
＝＝
＝＝＝－.
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