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第三讲 二倍角的正弦余弦正切公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
2.－sin215°的值是( )
A． B．
C． D．
3.＋2的化简结果是( )
A．2cos4－4sin4 B．2sin4
C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
5．若α∈，则＋的值为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
6．已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝，则cos2θ＝ .
三、解答题
9．求值：sin50°(1＋tan10°).
10．已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性．
B级 素养提升
一、选择题
1．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B．－
C． D．
2．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )
A． B．
C． D．－1
3．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝( )
A． B．
C．－ D．－
4．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝( )
A．－ B．－
C． D．
二、填空题
5．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于 .
6．已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝ .
三、解答题
7．已知向量m＝(cosα－，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－，0].
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
8．(广东高考)已知tanα＝2.
(1)求tan(α＋)的值；
(2)求的值．
C级 能力拔高
已知sin(－x)＝，x∈(0，)，求的值.
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第三讲 二倍角的正弦余弦正切公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
[解析] 因为f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，所以f(x)是奇函数，因而f(x)的图象关于原点对称，故选B．
2.－sin215°的值是( )
A． B．
C． D．
[解析] 原式＝－＝＝.
3.＋2的化简结果是( )
A．2cos4－4sin4 B．2sin4
C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
[解析] 原式＝＋2
＝·＋2
＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4.
4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
[解析] sin4α－cos4α＝－(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝－.
5．若α∈，则＋的值为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[解析] ∵α∈，∴∈，
∴原式＝＋
＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin.
6．已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝( )
A． B．
C． D．
[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．
由倍角公式可得，cos2(α＋)＝＝＝＝，故选A．
二、填空题
7．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝，则cos2θ＝ .
[解析] cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝
＝＝＝.
8.＝ .
[解析] 原式＝×＝tan(2×)
＝tan＝.
三、解答题
9．求值：sin50°(1＋tan10°).
[解析] 原式＝sin50°(1＋)
＝sin50°·
＝sin50°·
＝sin50°·
＝sin50°·＝
＝＝＝1.
10．已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性．
[解析] (1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)＝2sinxω·cosωx＋2cos2ωx21世纪教育网版权所有
＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin(2ωx＋)＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋)＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减．
B级 素养提升
一、选择题
1．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ＝
＝
＝－(cosα＋sinα)＝－.
∴sinα＋cosα＝.
2．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )
A． B．
C． D．－1
[解析] sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.
3．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝( )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系．
将sinα＋2cosα＝两边平方可得
sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝.
将左边分子分母同除以cos2α得，
＝，解得tanα＝3，
∴tan2α＝＝＝－.
4．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝( )
A．－ B．－
C． D．
[解析] cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1＝2cos2[－(－α)]－1＝2sin2(－α)－1＝－1＝－.
二、填空题
5．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于 .
[解析] 由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.∵α∈(0，)，∴cosα＝，
∴α＝，∴tanα＝tan＝.
6．已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝ .
[解析] 由题意sin2α＝，∴tan2α＝－.
∴tan(＋2α)＝＝＝－.
三、解答题
7．已知向量m＝(cosα－，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－，0].
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
[解析] (1)∵m与n为共线向量，
∴(cosα－)×1－(－1)×sinα＝0，
即sinα＋cosα＝.
(2)由(1)得1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，
∴sin2α＝－.
∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，
∴(sinα－cosα)2＝2－()2＝.
又∵α∈[－，0]，
∴sinα－cos<0，sinα－cosα＝－.
因此，＝.
8．(广东高考)已知tanα＝2.
(1)求tan(α＋)的值；
(2)求的值．
[解析] (1)tan(α＋)＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
C级 能力拔高
已知sin(－x)＝，x∈(0，)，求的值.
[解析] ∵x∈(0，)，
∴－x∈(0，)，
又∵sin(－x)＝.
∴cos(－x)＝，
又cos2x＝sin(－2x)＝2sin(－x)cos(－x)
＝2××＝.
cos(＋x)＝sin[－(＋x)]＝sin(－x)＝，
∴原式＝＝.
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