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第四讲 简单的三角恒等变换
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知cosα＝，α∈，则sin的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：cosα＝1－2sin2＝，∴sin2＝，∵α∈，∴∈，∴sin＝.
答案：B
2．若sin2α＝，且α∈，则cosα－sinα的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为α∈，
所以cosα所以cosα－sinα＝－.
答案：C
3．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝( )21·cn·jy·com
A．1 B．－1
C．0 D．±1
解析：因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)·sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，www.21-cn-jy.com
所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.
答案：C
4．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( )
A. B.
C. D.
解析：因为θ∈，所以2θ∈，
所以cos2θ≤0，
所以cos2θ＝－
＝－＝－.
又cos2θ＝1－2sin2θ，
所以sin2θ＝＝＝，
所以sinθ＝.
答案：D
5．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sinα B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sinα－cos＝2＋sinα－sinα＝2.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知sin－cos＝，则cos2θ＝________.
解析：因为sin－cos＝，
所以1－sinθ＝，
即sinθ＝，
所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.
答案：
7．若＝，则tan2α等于________．
解析：由＝，
得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，
即tanα＝－3.
又tan2α＝＝＝＝.
答案：
8．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.21教育网
答案：π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：(1)；
(2)已知π<α<，化简：
＋.
解析：(1)原式＝
＝＝.
(2)原式＝＋
，
∵π<α<，∴<<.
∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos.
10．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，
两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：∵sinα＋cosα＝，平方可得1＋sin2α＝，可得sin2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.
答案：C
12．已知sin2θ＝，0<2θ<，则＝________.
解析：＝
＝＝＝.
因为sin2θ＝，0<2θ<，
所以cos2θ＝，所以tanθ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
13．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1.21世纪教育网版权所有
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单凋递减区间．
解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x
＝2sin.
(1)T＝＝π.
(2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
14．如图，有一块以点O为圆心的半圆形 ( http: / / www.21cnjy.com )空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？21cnjy.com
解析：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈.
∵A，D关于原点对称，
∴AD＝2OA＝40cosθ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ
＝400sin2θ.∵θ∈，
∴当sin2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400 (m2)．
此时AO＝DO＝10 (m)．
故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
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第四讲 简单的三角恒等变换
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知cosα＝，α∈，则sin的值为( )
A. B.
C．－ D．－
2．若sin2α＝，且α∈，则cosα－sinα的值为( )
A. B.
C．－ D．－
3．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝( )21cnjy.com
A．1 B．－1
C．0 D．±1
4．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( )
A. B.
C. D.
5．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sinα B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知sin－cos＝，则cos2θ＝________.
7．若＝，则tan2α等于________．
8．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：(1)；
(2)已知π<α<，化简：
＋.
10．求证：－2cos(α＋β)＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝( )
A. B.
C．－ D．－
12．已知sin2θ＝，0<2θ<，则＝________.
13．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1.21世纪教育网版权所有
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单凋递减区间．
14．如图，有一块以点O为圆心的半 ( http: / / www.21cnjy.com )圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？21教育网
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