中小学教育资源及组卷应用平台
第四讲 简单的三角恒等变换
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若函数f(x)＝－sin2 x＋(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 f(x)＝－＋＝cos 2x.故选D．
【答案】 D
2．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 由题意知sin α＝－，α∈，
∴cos α＝－.
∵∈，
∴sin＝cos
＝－＝－.故选B．
【答案】 B
3．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有( )
A．b>a>c B．a>b>c
C．a>c>b D．c>b>a
【解析】 a＝sin 37°，b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )tan 38°，c＝sin 36°，由于tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°，所以b>a>c.故选A．21教育网
【答案】 A
4．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )21cnjy.com
A．1 B．－1
C．0 D．±1
【解析】 ∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0，
∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)
＝2sin αcos 2β＝0.
【答案】 C
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是( )
A．1 B．2
C．＋1 D．＋2
【解析】 f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x＝sin x＋cos x
＝2sin.
∵0≤x<，
∴≤x＋<π，
∴当x＋＝时，
f(x)取到最大值2.
【答案】 B
二、填空题
6．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________.
【解析】 由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)．
故cos θ＝－＝－，
由cos2 ＝得cos2 ＝.
又是第一、三象限角，
所以cos ＝±.
【答案】 ±
7.－＝________.
【解析】 原式＝
＝
＝＝4.
【答案】 4
三、解答题
8．已知2sin＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.21·cn·jy·com
【证明】 ∵2sin＝sin θ＋cos θ，
∴(sin α＋cos α)＝sin θ＋cos θ，
两边平方得2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，
∴sin 2θ＝1＋2sin 2α.
又sin 2θ＝2sin2β，
∴sin 2θ＝1－cos 2β，
∴1－cos 2β＝1＋2sin 2α，
∴2sin 2α＋cos 2β＝0，
∴sin 2α＋cos 2β＝0.
9．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.21世纪教育网版权所有
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值. 【导学号：70512044】
【解】 f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋a＝sin＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋(k∈Z)．
又ω>0，
∴当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x≤π，≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，得a＝－.
[能力提升]
1．已知450°<α<540°，则的值是( )
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
【解析】 因为450°<α<540°，
所以225°<<270°，
所以cos α<0，sin <0，
所以原式＝
＝
＝＝
＝＝＝－sin .故选A．
【答案】 A
2．已知函数f(x)＝2cos2 ，g(x)＝2.
(1)求证：f＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
【解】 (1)证明：f(x)＝2cos2 ＝1＋cos x，
g(x)＝2
＝1＋2sin cos
＝1＋sin x.
∵f＝1＋cos＝1＋sin x，
∴f＝g(x)，命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x
＝
＝cos.
∵x∈[0，π]，
∴≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，
当π≤x＋≤，即≤x≤π时， h(x)递增．
∴函数h(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为，
根据函数h(x)的单调性，
可知当x＝时，
函数h(x)取到最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第四讲 简单的三角恒等变换
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若函数f(x)＝－sin2 x＋(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )
A．－ B．－
C． D．
3．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有( )
A．b>a>c B．a>b>c
C．a>c>b D．c>b>a
4．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )21教育网
A．1 B．－1
C．0 D．±1
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是( )
A．1 B．2
C．＋1 D．＋2
二、填空题
6．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________.
7.－＝________.
三、解答题
8．已知2sin＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.21世纪教育网版权所有
9．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.21cnjy.com
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值.
[能力提升]
1．已知450°<α<540°，则的值是( )
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
2．已知函数f(x)＝2cos2 ，g(x)＝2.
(1)求证：f＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
