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第七讲 正切函数的性质与图象
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
2．函数y＝(－A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
3．下列各式中正确的是( )
A．tan735°>tan800° B．tan1C．tan4．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝tan(2x－)的定义域是________．
7．函数y＝3tan(π＋x)，－8．比较大小：tan________tan.
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
10．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域．
11．如果函数y＝tan(x＋φ)的图象经过点，那么φ可能是( )
A．－ B．－
C. D.
12．已知函数y＝tanωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
13．作出函数y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
14．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
[学业达标]
一、选择题
1．f(x)＝－tan的单调区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
3．函数y＝tan图象的对称中心为( )
A．(0,0) B.
C.，k∈Z D.，k∈Z
4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( ) 【导学号：70512014】
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
5．在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝tan
二、填空题
6．f(x)＝asin x＋btan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.
7．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为__________．
三、解答题
8．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性. 【导学号：70512015】
9．已知x∈，f(x)＝tan2 x＋2tan x＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
[能力提升]
1．函数f(x)＝lg(tan x＋)为( )
A．奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
2．方程x－tan x＝0的实根个数是________．
3．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．21世纪教育网版权所有
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．
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第七讲 正切函数的性质与图象
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：法一 函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
法二 由诱导公式可得tan＝
tan＝tan，
所以f＝f(x)，所以周期T＝.
答案：A
2．函数y＝(－A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
解析：∵－答案：B
3．下列各式中正确的是( )
A．tan735°>tan800° B．tan1C．tan解析：tan＝tan＝tan答案：D
4．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：要使函数有意义，只需logtanx≥0，即0答案：C
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：令kπ－答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝tan(2x－)的定义域是________．
解析：因为2x－≠＋kπ(k∈Z) x≠＋(k∈Z)，所以定义域为.
答案：
7．函数y＝3tan(π＋x)，－解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tanx，因为正切函数在上是增函数，所以－3答案：(－3，]
8．比较大小：tan________tan.
解析：∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan，
又0<<<，y＝tanx在内单调递增，
∴tan∴tan>tan.
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解析：由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为.T＝＝2π，
所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ得－＋2kπ所以函数y＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
10．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域．
解析：∵－≤x≤，
∴－1≤tanx≤1.
令tanx＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
11．如果函数y＝tan(x＋φ)的图象经过点，那么φ可能是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵y＝tan(x＋φ)的图象经过点，
∴tan＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，故选A.
答案：A
12．已知函数y＝tanωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tanωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.21教育网
答案：[－1,0)
13．作出函数y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
解析：y＝tanx＋|tanx|＝
其图象如图所示，
由图像可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.www.21-cn-jy.com
14．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
解析：(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z，
∴f(x)的定义域为，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，由于f(x)
＝3tan＝3tan
＝3tan＝f(x＋2π)，所以最小正周期T＝2π.易知f(x)为非奇非偶函数．
由－＋kπ∴函数的单调递增区间为，k∈Z.
[学业达标]
一、选择题
1．f(x)＝－tan的单调区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】 令－＋kπ所以函数f(x)的单调减区间为，k∈Z.
【答案】 C
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】 由题意可得f(x)的周期为，则＝，∴ω＝4.
【答案】 C
3．函数y＝tan图象的对称中心为( )
A．(0,0) B.
C.，k∈Z D.，k∈Z
【解析】 由函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z，
令3x＋＝，k∈Z，则x＝－(k∈Z)，∴y＝tan的对称中心为，k∈Z.故选D.
【答案】 D
4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( ) 【导学号：70512014】
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
【解析】 当x＝时，y＝tan＝tan ＝1；当x＝－时，y＝tan＝1；当x＝时，y＝tan ＝－1；当x＝时，y＝tan 不存在．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 D
5．在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝tan
【解析】 由函数周期为π可排除A.x∈时，2x∈(0，π)，2x＋∈，此时B，C中函数均不是增函数．故选D.21世纪教育网版权所有
【答案】 D
二、填空题
6．f(x)＝asin x＋btan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.
【解析】 ∵f(5)＝asin 5＋btan 5＋1＝7，
∴asin 5＋btan 5＝6，
∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1
＝－(asin 5＋btan 5)＋1
＝－6＋1＝－5.
【答案】 －5
7．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为__________．
【解析】 由题意可知ω<0，又≥π，
故－1≤ω<0.
【答案】 －1≤ω<0
三、解答题
8．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性. 【导学号：70512015】
【解】 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
∴所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是增函数．
9．已知x∈，f(x)＝tan2 x＋2tan x＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
【解】 f(x)＝tan2 x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.
∵x∈，∴tan x∈[－，1]，
∴当tan x＝－1，即x＝－时，y有最小值，ymin＝1；
当tan x＝1，即x＝时，y有最大值，ymax＝5.
[能力提升]
1．函数f(x)＝lg(tan x＋)为( )
A．奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
【解析】 ∵>|tan x|≥－tan x，
∴其定义域为，关于原点对称，又f(－x)＋f(x)＝lg(－tan x＋)＋lg(tan x＋)2·1·c·n·j·y
＝lg 1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.
【答案】 A
2．方程x－tan x＝0的实根个数是________．
【解析】 方程x－tan x＝0的实根个数，即函数y＝x与y＝tan x交点的个数，画出两函数的图象(略)，由图象知交点有无数多个．21·世纪*教育网
【答案】 无数多个
3．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．www-2-1-cnjy-com
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．
【解】 (1)由题意可得f(x)的周期为
T＝－＝＝，所以ω＝，
得f(x)＝Atan.
因为它的图象过点，
所以tan＝0，
即tan＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－.
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f(x)＝Atan，
又它的图象过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3，
所以f(x)＝3tan.
(2)由(1)得3tan≥，
所以tan≥，
得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋(k∈Z)，
所以满足f(x)≥的x的取值范围是(k∈Z).
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