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第三讲 二倍角的正弦余弦正切公式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若sin α＝3cos α，则＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2．已知sin α＝，则cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－
C． D．
3．若＝，则tan 2α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
4．若sin x·tan x<0，则等于( )
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
5．已知＝，则sin 2x＝( )
A．－ B．－
C． D．
二、填空题
6．已知sin＝，则sin 2x的值等于___________________________．21世纪教育网版权所有
7．已知sin 2α＝，α∈，则cos α－sin α＝________.
三、解答题
8．化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)．
9．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．
[能力提升]
1．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( )
A． B．
C． D．π
2．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
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第三讲 二倍角的正弦余弦正切公式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若sin α＝3cos α，则＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】 ＝＝＝＝6.
【答案】 D
2．已知sin α＝，则cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 因为sin α＝，
所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2 α)＝－1＋2×2＝－.
【答案】 B
3．若＝，则tan 2α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 因为＝，
整理得tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
【答案】 B
4．若sin x·tan x<0，则等于( )
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
【解析】 因为sin x·tan x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cos x<0，
所以＝＝|cos x|
＝－cos x.
【答案】 B
5．已知＝，则sin 2x＝( )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 ∵＝，
∴＝，
∴cos x＋sin x＝，
∴1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－.
【答案】 A
二、填空题
6．已知sin＝，则sin 2x的值等于___________________________．21世纪教育网版权所有
【导学号：00680074】
【解析】 法一：∵sin＝，
∴cos＝1－2sin2
＝1－2×2＝，
∴sin 2x＝cos＝.
法二：由sin＝，得(sin x－cos x)＝－，∴sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，∴sin 2x＝.
【答案】
7．已知sin 2α＝，α∈，则cos α－sin α＝________.
【解析】 因为α∈，所以sin α>cos α，即cos α－sin α<0，又sin 2α＝，则有
cos α－sin α＝－
＝－＝－＝－.
【答案】 －
三、解答题
8．化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)．
【解】 原式＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝－·
＝－1.
9．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．
【解】 ∵cos x＝，x∈，
∴sin x＝－＝－，
∴sin 2x＝2sin xcos x＝－，
∴cos＋sin2x
＝＋＝－sin 2x＝－×＝.
[能力提升]
1．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( )
A． B．
C． D．π
【解析】 由题意得
①2＋②2得cos β＝，cos α＝，
由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，
∴tan β＝2，tan α＝，∴tan 2β＝－，
∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，
∴α＋2β＝π.故选D．
【答案】 D
2．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
【解】 (1)因为f(x)＝cos2－sin cos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，
所以cos＝，
所以sin 2α＝－cos＝－cos
＝1－2cos2＝1－＝.
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