中小学教育资源及组卷应用平台
第二讲 两角和与差的正弦余弦正切公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是( )
A． B．
C． D．
2．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于( )
A． B．
C．－ D．－
3．cos的值等于( )
A． B．
C． D．
4.cos－sin的值是( )
A．0 B．
C．－ D．2
5．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为( )
A．cosx B．sinx
C．cos(x＋y) D．cos(x－y)
6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cosβ＝( )
A．－ B．－
C． D．
二、填空题
7．sin15°＋sin75°的值是 .
8．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ＝ .21世纪教育网版权所有
三、解答题
9．化简求值：
(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)
10．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值.
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)·cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( )21教育网
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
2．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( )
A． B．
C．或 D．－
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为( )
A．0 B．
C．0或 D．0或±
4.( )
A．－ B．－
C． D．
二、填空题
5．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝ .
6．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝ .
三、解答题
7．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．
8．已知cosα＝，
sin(α－β)＝，且α、 β∈(0，)．求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
C级 能力拔高
已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈.求cos2α，cos2β及角β的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二讲 两角和与差的正弦余弦正切公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由条件可知co ( http: / / www.21cnjy.com )sA＝，sinA＝，sinB＝，cosB＝，∴sin(A－B)＝sinA·cosB－cosA·sinB＝×－×＝.21教育网
2．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] cos(α＋)＝(cosα·－sinα·)＝－＝.
3．cos的值等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] cos＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝.
4.cos－sin的值是( C )
A．0 B．
C．－ D．2
[解析] cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝.
5．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为( A )
A．cosx B．sinx
C．cos(x＋y) D．cos(x－y)
[解析] 原式＝cos[(x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )y)＋y]＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)· sin＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny＝cosx.21cnjy.com
6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cosβ＝( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵α、 β是锐角，∴0 ( http: / / www.21cnjy.com )<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.21·cn·jy·com
二、填空题
7．sin15°＋sin75°的值是 .
[解析] sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝.www.21-cn-jy.com
8．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ＝ .2·1·c·n·j·y
[解析] 由sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，得
sin(－β)＝m，即sinβ＝－m，又β为第三象限角，
cosβ＝－＝－＝－.
三、解答题
9．化简求值：
(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)
[解析] (1)原式＝sin(14°－44°)
＝sin(－30°)＝－.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
10．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值.
[解析] cosθ＝－，θ∈，
∴sinθ＝－，
∴cos＝cosθ·cos－sinθ·sin
＝－×－×＝－.
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)·cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( C )21世纪教育网版权所有
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
[解析] 由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，
∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，
∴△ABC是直角三角形．
2．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( B )
A． B．
C．或 D．－
[解析] ∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，
又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，
由sinα＝得，cosα＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B．
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为( A )
A．0 B．
C．0或 D．0或±
[解析] 由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
4.( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析]
＝
＝
＝＝sin30°＝.
二、填空题
5．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝ .
[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝×－×＝－.
6．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝ .
[解析] 由已知，得
即
解得
所以tanα·tanβ＝＝.
三、解答题
7．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．
[解析] (1)∵|a－b|＝，
∴a2－2a·b＋b2＝，
又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，
又sinβ＝－，∴cosβ＝，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
8．已知cosα＝，
sin(α－β)＝，且α、 β∈(0，)．求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解析] (1)因为α、 β∈(0，)，
所以α－β∈(－，)，又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<，
所以sinα＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝.
C级 能力拔高
已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈.求cos2α，cos2β及角β的值.
[思路分析] 讨论角的范围时，α－β一般看作α＋(－β)，先求出－β的范围，再求α＋(－β)的范围．
[解析] 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝.
得sin(α＋β)＝－.
∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－.
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，
α－β∈ β－α∈(－π，－)
2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
