2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修一第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷（Word版含解析）

第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共32分)
1、(4分)若F是双曲线的右焦点，过点F向双曲线C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是( )
A. B.2 C. D.
2、(4分)已知抛物线上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M纵坐标的最小值为( )
A. B. C. D.1
3、(4分)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过左焦点作圆的切线，切点为E，直线交双曲线的右支于点P，若，O为坐标原点，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
4、(4分)设是的一个内角，且，则表示( )
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线
5、(4分)抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.
6、(4分)已知直线与拋物线交于A，B两点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为( )
A. B. C. D.
7、(4分)若P是抛物线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8、(4分)过拋物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么AB的长为( )
A.6 B.8 C.9 D.10
二、多项选择题(共24分)
9、(6分)已知双曲线C过点，且渐近线方程为，则下列结论中正确的是( )
A.双曲线C的方程为
B.双曲线C的离心率为
C.曲线经过双曲线C的一个焦点
D.直线与双曲线C有两个公共点
10、(6分)已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，上顶点为P，且的面积为.双曲线的焦点和椭圆的焦点相同，且双曲线的离心率为，M是椭圆与双曲线的一个公共点.若，则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
11、(6分)下列曲线中焦点坐标为的是( )
A. B. C. D.
12、(6分)已知经过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论中正确的是( )
A.当AB与x轴垂直时，AB最小 B.
C.以弦AB为直径的圆与直线相离 D.
三、填空题(共16分)
13、(4分)已知点P是椭圆上动点，则点P到直线距离的最大值是_______________.
14、(4分)已知椭圆，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是____________.
15、(4分)离心率为2且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是_______________.
16、(4分)若双曲线的右焦点与拋物线的焦点重合，则______________.
四、解答题(共28分)
17、(14分)已知Q是圆上的一个动点(点M为圆心)，点N的坐标为，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)求直线与曲线E的相交弦长；
(3)曲线E的右顶点为B，直线与椭圆E相交于点S，T，则直线BS，BT的斜率分别为，且，，D为垂足，问：是否存在某个定点A，使得以AB为直径的圆经过点D 若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
18、(14分)已知拋物线以椭圆的右焦点为焦点F.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F作直线l与抛物线交于C，D两点，已知线段CD的中点M的横坐标为3，求弦CD的长度.
参考答案
1、答案：B
解析：设一条渐近线OA的方程为，则另一条渐近线OB的方程为.设点，.由，得，则，，则点.又，所以，化简，得，故双曲线C的离心率.
2、答案：A
解析：设直线AB的方程为，联立消去y并整理，得.由题意可得，即.设，，则，.因为，所以，，当且仅当，即时取等号，所以点M纵坐标的最小值为.
3、答案：C
解析：由，得E为的中点.连接OE，，则OE是的中位线，所以，.由双曲线定义可得，由勾股定理可得，即，所以离心率.
4、答案：B
解析：由，得.又，所以，，且，所以.方程可化为表示焦点在y轴上的椭圆.
5、答案：C
解析：抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线为，则焦点到渐近线的距离.
6、答案：C
解析：设，.因为直线OD的斜率为，，所以直线AB的斜率为-2，故直线AB的方程为①，将①代入抛物线方程，得，则.因为，，所以，则.因为，所以，所以.
7、答案：C
解析：设点，则点P到直线的距离，当时，d取得最小值.
8、答案：B
解析：抛物线的准线方程是，过抛物线的焦点作直线交拋物线于，两点，则.
9、答案：AC
解析：由渐近线方程为，可设双曲线方程为，代入点得，则，故A正确；双曲线C的离心率为，故B错误；曲线经过双曲线C的一个焦点，故C正确；因为直线与双曲线C的一条渐近线平行，所以有一个公共点，故D错误.故选AC.
10、答案：AC
解析：设双曲线的标准方程为，半焦距为c.因为椭圆的上顶点为P，且的面积为，所以，所以，所以，所以.设点M在第一象限，，，则，，所以.在中，由余弦定理可得，两边同除以，得，解得，所以，，，.故选AC.
11、答案：BC
解析：对于A，化为标准方程是，焦点坐标为，故A错误；对于B，由，得，，则，所以焦点坐标为，故B正确；对于C，由，得，，则，所以焦点坐标为，故C正确；对于D，由，得，，则，所以焦点坐标为，故D错误.故选BC.
12、答案：ABD
解析：设直线AB的斜率为k，倾斜角为.由题意，得点，则直线AB的方程为，代入，消去y并整理，得，所以，.因为，，所以，所以，故D正确；.因为，所以，所以当时，AB有最小值，故A正确；因为，，所以，故B正确；以弦AB为直径的圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，所以该圆与直线相切，故C错误.故选ABD.
13、答案：
解析：设与直线平行的直线，联立消去y并整理，得.当直线l'与椭圆C相切时，则，解得，所以直线或.当P为直线与椭圆C的切点时，点P到直线的距离最大，此时直线与直线之间的距离为，所以点P到直线的距离的最大值为.
14、答案：
解析：设，，则，，，，两式相减，得，所以，即直线l的斜率是.
15、答案：
解析：设双曲线的方程为.由题意，得椭圆的焦点为，所以.因为，所以，则，所以双曲线的标准方程为.
16、答案：6
解析：由题意知拋物线的焦点为，而双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，即.
17、答案：(1)轨迹方程为.
(2)相交弦长为.
(3)存在定点满足条件.
解析：(1)因为点C在线段QN的垂直平分线上，
所以.
又QM是圆M的半径，
所以，
所以点E的轨迹是椭圆，
所以，，所以，
所以动点C的轨迹方程为.
(2)设直线与曲线E相交于点和点，联立
消去y并整理，得，
则，，，
所以弦长.
(3)设，，联立
消去y并整理，得，
则，
，，
，
化简，得，
即，
即，
解得或.
当时，直线过点B，不合题意；
所以，此时直线，且过定点.
又因为点D在以AB为直径的圆上，
所以点A在直线上，
所以存在定点满足条件.
18、答案：（1）由椭圆，可知，，则，即，
则椭圆的右焦点为，
所以抛物线的焦点为，
所以，所以，
所以拋物线的标准方程为.
（2）因为抛物线方程为，所以.
设C，D两点的横坐标分别为，.
因为线段CD的中点M的横坐标为3，
则，即，
故.
解析：