2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修一第五章 导数及其应用 单元测试卷（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修一第五章 导数及其应用 单元测试卷（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 884.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-19 16:57:55 | ||
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文档简介
第五章 导数及其应用 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共32分)
1、(4分)原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出，，等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则等于( )
A.12贝克 B.贝克 C.6贝克 D.贝克
2、(4分)设，已知函数，对于任意，，都有，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
3、(4分)已知定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4、(4分)已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、(4分)如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是( )
A.是函数的极小值点
B.当或时，函数的值为0
C.函数在上是增函数
D.函数在上是增函数
6、(4分)已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.-1
7、(4分)已知函数在区间上的最大值、最小值分别为M，N，则的值为( )
A.2 B.4 C.20 D.18
8、(4分)若是函数的极值点，则的极小值为( )
A.-1 B. C. D.1
二、多项选择题(共24分)
9、(6分)若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点处与曲线C相切；
②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，则下列命题中正确的是( )
A.直线在点处“切过”曲线
B.直线在点处“切过”曲线
C.直线在点处“切过”曲线
D.直线在点处“切过”曲线
10、(6分)设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，则下列结论中正确的有( )
A. B.在区间上单调递增
C.当时，取得极大值 D.是的最小值
11、(6分)已知函数，则下列结论中正确的是( )
A.函数在处取得最大值为
B.函数有两个不同的零点
C.
D.若在区间上恒成立，则
12、(6分)设函数的导函数为，则下列结论中正确的是( )
A. B.是的极值点
C.存在零点 D.在区间上单调递增
三、填空题(共16分)
13、(4分)已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是____________.
14、(4分)已知的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为________________.
15、(4分)已知函数，当时，函数有极值，则函数在区间上的最大值为____________.
16、(4分)已知函数，则的极大值为______________.
四、解答题(共28分)
17、(14分)已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性.
18、(14分)已知函数.
（1）若是奇函数，且有三个零点，求实数b的取值范围；
（2）若在处有极大值，当时，求出的值域.
参考答案
1、答案：A
解析：由题意，得，所以，解得，则，所以（贝克）.
2、答案：B
解析：设，则，当或时，，单调递增；当时，单调递减，当时，，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，所以，，因为对于任意，，都有，所以，即，即，解得或.又，所以实数m的取值范围为.
3、答案：B
解析：由，得.因为定义在上，所以.令，则，故函数在区间上单调递增.由，得.又，所以，所以.同理令，，则函数在区间上单调递减.由，得，即.综上.
4、答案：D
解析：设切点坐标为.因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为.又因为切线过点，所以切线斜率为，所以，即①.因为过点可作曲线的三条切线，所以方程①有3解.令，则的图象与x轴有3个交点，所以的极大值与极小值异号.又，令，得或，所以，即，解得，故m的取值范围是.
5、答案：D
解析：由函数的导函数图象可知，当，时，，则原函数为减函数；当时，，则原函数为增函数，故D正确，C错误；不是函数的极值点，故A错误；当或时，导函数的值为0，函数的值未知，故B错误.
6、答案：A
解析：因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以在区间上单调递减，所以，所以，则.
7、答案：C
解析：由题意，得，令，解得，，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.因为，，，所以最大值，最小值，故.
8、答案：A
解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.
9、答案：AC
解析：的导数为，得切线方程为，即x轴.当时，；当时，，所以直线在点处“切过”曲线，故A正确；由的导数为，得切线方程为，且的导数为，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，则，故B错误；的导数为，可得在点处切线方程为.由和直线可得切线穿过曲线，则直线在点处“切过”曲线，故C正确；的导数为，可得在点处切线方程为，令，则，当时，，当时，，即在区间上单调递減，在区间上单调递增，所以当时，，所以，故D错误.故选AC.
10、答案：ACD
解析：只有一个零点，即方程在上只有一个根，则，两边取对数，得，即只有一个正根.设，则，当时，，单调递增；当时，；当时，，单调递减，此时，则，所以要使方程只有一个正根，则或，解得或.又因为，所以，故A正确；，，令，即，两边取对数，得，易知和是此方程的解.设，，当时，则，单调递增；当时，，单调递减，所以是极大值.又，所以有且只有两个零点.当或时，所以，即，即，则.同理当时，，所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以极小值为，极大值为.又，所以是最小值，故B错误，C，D正确.故选ACD.
11、答案：ACD
解析：由题意，得.对于A，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在处取得最大值为，故A正确；对于B，令，得，故函数有一个零点，故B错误；对于C，因为，所以根据函数的单调性，，故C正确；对于D，函数在区间上恒成立，即在区间上恒成立.设，所以.令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，故D正确.故选ACD.
12、答案：AD
解析：由题意知的定义域为.对于A，，则，故A正确；对于B，D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，，故函数不存在零点，故C错误.故选AD.
13、答案：
解析：由，得，设，则存在，使得成立，即成立，所以成立，所以.令，则，所以时，，单调递增，所以，所以实数a的取值范围是.
14、答案：
解析：构造函数，该函数的定义域为.因为函数为偶函数，所以，所以函数为偶函数.又，当时，，则，所以函数在上为增函数.因为，所以.由，得，即，所以，所以，解得或，故不等式的解集为.
15、答案：13
解析：因为，当时，函数有极值，所以，解得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.双极大值，，所以在区间上的最大值为13.
16、答案：
解析：因为，令，则，解得，所以.令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值.
17、答案：(1)有极小值，无极大值
(2)当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；
当时，函数的单调减区间为，单调增区间为
解析：(1)当时，，
所以，
则，随x的变化情况如下表：
x 1
- 0 +
极小
所以在区间上有极小值，无极大值.
(2)因为函数的定义域为，.
当时，，从而，故函数在区间上单调递减；
当时，若，则，从而；若，则，从而.
故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
18、答案：（1）因为是定义域为R的奇函数，
所以，且，
所以，所以.
当时，，
此时在R上单调递减，在R上只有一个零点，不符合题意.
当时，，解得.
因为在R上有三个零点，
所以且.
又，，恒成立，
所以.
综上，实数b的取值范围为.
（2）由题意，得，
，，
解得或
当，时，，，
令，得，
令，得或，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处有极小值，与题意不符.
当，时，，.
令，得；
令，得或，
所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处有极大值，符合题意，
故，.
又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
又，，，
所以函数在区间上的值域为.
解析：
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共32分)
1、(4分)原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出，，等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则等于( )
A.12贝克 B.贝克 C.6贝克 D.贝克
2、(4分)设，已知函数，对于任意，，都有，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
3、(4分)已知定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4、(4分)已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、(4分)如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是( )
A.是函数的极小值点
B.当或时，函数的值为0
C.函数在上是增函数
D.函数在上是增函数
6、(4分)已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.-1
7、(4分)已知函数在区间上的最大值、最小值分别为M，N，则的值为( )
A.2 B.4 C.20 D.18
8、(4分)若是函数的极值点，则的极小值为( )
A.-1 B. C. D.1
二、多项选择题(共24分)
9、(6分)若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点处与曲线C相切；
②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，则下列命题中正确的是( )
A.直线在点处“切过”曲线
B.直线在点处“切过”曲线
C.直线在点处“切过”曲线
D.直线在点处“切过”曲线
10、(6分)设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，则下列结论中正确的有( )
A. B.在区间上单调递增
C.当时，取得极大值 D.是的最小值
11、(6分)已知函数，则下列结论中正确的是( )
A.函数在处取得最大值为
B.函数有两个不同的零点
C.
D.若在区间上恒成立，则
12、(6分)设函数的导函数为，则下列结论中正确的是( )
A. B.是的极值点
C.存在零点 D.在区间上单调递增
三、填空题(共16分)
13、(4分)已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是____________.
14、(4分)已知的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为________________.
15、(4分)已知函数，当时，函数有极值，则函数在区间上的最大值为____________.
16、(4分)已知函数，则的极大值为______________.
四、解答题(共28分)
17、(14分)已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性.
18、(14分)已知函数.
（1）若是奇函数，且有三个零点，求实数b的取值范围；
（2）若在处有极大值，当时，求出的值域.
参考答案
1、答案：A
解析：由题意，得，所以，解得，则，所以（贝克）.
2、答案：B
解析：设，则，当或时，，单调递增；当时，单调递减，当时，，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，所以，，因为对于任意，，都有，所以，即，即，解得或.又，所以实数m的取值范围为.
3、答案：B
解析：由，得.因为定义在上，所以.令，则，故函数在区间上单调递增.由，得.又，所以，所以.同理令，，则函数在区间上单调递减.由，得，即.综上.
4、答案：D
解析：设切点坐标为.因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为.又因为切线过点，所以切线斜率为，所以，即①.因为过点可作曲线的三条切线，所以方程①有3解.令，则的图象与x轴有3个交点，所以的极大值与极小值异号.又，令，得或，所以，即，解得，故m的取值范围是.
5、答案：D
解析：由函数的导函数图象可知，当，时，，则原函数为减函数；当时，，则原函数为增函数，故D正确，C错误；不是函数的极值点，故A错误；当或时，导函数的值为0，函数的值未知，故B错误.
6、答案：A
解析：因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以在区间上单调递减，所以，所以，则.
7、答案：C
解析：由题意，得，令，解得，，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.因为，，，所以最大值，最小值，故.
8、答案：A
解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.
9、答案：AC
解析：的导数为，得切线方程为，即x轴.当时，；当时，，所以直线在点处“切过”曲线，故A正确；由的导数为，得切线方程为，且的导数为，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，则，故B错误；的导数为，可得在点处切线方程为.由和直线可得切线穿过曲线，则直线在点处“切过”曲线，故C正确；的导数为，可得在点处切线方程为，令，则，当时，，当时，，即在区间上单调递減，在区间上单调递增，所以当时，，所以，故D错误.故选AC.
10、答案：ACD
解析：只有一个零点，即方程在上只有一个根，则，两边取对数，得，即只有一个正根.设，则，当时，，单调递增；当时，；当时，，单调递减，此时，则，所以要使方程只有一个正根，则或，解得或.又因为，所以，故A正确；，，令，即，两边取对数，得，易知和是此方程的解.设，，当时，则，单调递增；当时，，单调递减，所以是极大值.又，所以有且只有两个零点.当或时，所以，即，即，则.同理当时，，所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以极小值为，极大值为.又，所以是最小值，故B错误，C，D正确.故选ACD.
11、答案：ACD
解析：由题意，得.对于A，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在处取得最大值为，故A正确；对于B，令，得，故函数有一个零点，故B错误；对于C，因为，所以根据函数的单调性，，故C正确；对于D，函数在区间上恒成立，即在区间上恒成立.设，所以.令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，故D正确.故选ACD.
12、答案：AD
解析：由题意知的定义域为.对于A，，则，故A正确；对于B，D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，，故函数不存在零点，故C错误.故选AD.
13、答案：
解析：由，得，设，则存在，使得成立，即成立，所以成立，所以.令，则，所以时，，单调递增，所以，所以实数a的取值范围是.
14、答案：
解析：构造函数，该函数的定义域为.因为函数为偶函数，所以，所以函数为偶函数.又，当时，，则，所以函数在上为增函数.因为，所以.由，得，即，所以，所以，解得或，故不等式的解集为.
15、答案：13
解析：因为，当时，函数有极值，所以，解得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.双极大值，，所以在区间上的最大值为13.
16、答案：
解析：因为，令，则，解得，所以.令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值.
17、答案：(1)有极小值，无极大值
(2)当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；
当时，函数的单调减区间为，单调增区间为
解析：(1)当时，，
所以，
则，随x的变化情况如下表：
x 1
- 0 +
极小
所以在区间上有极小值，无极大值.
(2)因为函数的定义域为，.
当时，，从而，故函数在区间上单调递减；
当时，若，则，从而；若，则，从而.
故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
18、答案：（1）因为是定义域为R的奇函数，
所以，且，
所以，所以.
当时，，
此时在R上单调递减，在R上只有一个零点，不符合题意.
当时，，解得.
因为在R上有三个零点，
所以且.
又，，恒成立，
所以.
综上，实数b的取值范围为.
（2）由题意，得，
，，
解得或
当，时，，，
令，得，
令，得或，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处有极小值，与题意不符.
当，时，，.
令，得；
令，得或，
所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处有极大值，符合题意，
故，.
又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
又，，，
所以函数在区间上的值域为.
解析：