沪科版八年级数学上册 12.1 第2课时 函数的表示方法 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册 12.1 第2课时 函数的表示方法 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 78.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-19 17:17:30 | ||
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文档简介
第2课时 函数的表示方法
教学目标
1．了解和掌握函数表示方法中的列表法、解析法和图象法，理解这三种表示方法的优缺点；
2．体会用描点法画函数图象的一般步骤，初步掌握用描点法画函数图象；(重点)
3．理解和掌握函数中自变量取值范围的确定，能用这种表示函数的方法解决简单的实际问题；
4．能从函数的图象中获得相关的信息，能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测．(难点)
教学过程
一、情境导入
汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶里程为skm，行驶时间为th.先填写下表：
t/h 1 2 3 4 5 t
s/km
在以上这个过程中，变化的量是________，不变化的量是________．试用含t的式子表示s.
二、合作探究
探究点一：自变量的取值范围
例1 函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞－2且x≠1 B．x≥2且x≠1
C．x≥－2且x≠1 D．x≠1
解析：根据算术平方根的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围．根据题意得解得x≥－2且x≠1.故选C.
方法总结：函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式有算术平方根的表达式时，考虑被开方数为非负数．在实际问题中，自变量的取值还要使实际问题有意义．
探究点二：列表法和解析法
【类型一】 列表法
例 2 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
写出用t表示s的函数表达式：________．
解析：观察表中给出的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出函数表达式．t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×32；t＝4时，s＝2×42；…，所以s与t的函数表达式为s＝2t2，其中t≥0.故答案为s＝2t2(t≥0)．
方法总结：本题以列表法表示时间t与距离s之间的关系，认真观察分析s随t的变化而变化的规律是列出函数表达式的关键．
【类型二】 解析法
例3 一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是( )
A．y＝1.5(x＋12)(0≤x≤10)
B．y＝1.5x＋12(0≤x≤10)
C．y＝1.5x＋12(x≥0)
D．y＝1.5(x－12)(0≤x≤10)
解析：设挂重为x，则弹簧伸长为1.5x，挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是y＝1.5x＋12(0≤x≤10)．故选B.
方法总结：关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．在实际问题中求函数解析式时，要特别注意自变量的取值范围．
探究点三：函数的图象
【类型一】 根据函数的定义判断函数图象
例4 下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是( )
解析：B图象上对于x的任意取值有两个值对应，所以B不是函数．其他图象对于x的任意取值都有唯一确定的值和它对应．故选B.
方法总结：由图象判断y是否为x的函数的关键是一个x所对应的y是否唯一，当x的值确定时，y的值也是唯一确定，此时，y是x的函数．
【类型二】 根据实际情景描述函数图象
例5 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车．车修好后，因怕耽误上课，与修车前相比，他加快了速度匀速行驶．下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图象，那么大致符合小明行驶情况的图象是( )
解析：根据题意，在修车前，s随t的增加而增加．这段时间，图象从左下到右上，呈上升趋势；修车时，时间t增加，但s不变，此时，图象是平行于横轴的；车修好后，小明加快速度，此时图象比修车前的图象更陡一些，仍呈上升趋势，综上所述，应选C.
方法总结：以上例题中的图象有生动的实际背景，必须仔细观察折线的有关特征，联系实际问题的背景知识，解答题目中的问题．在观察图象时，一定要搞清楚横轴与纵轴表示的量的实际意义．
探究点四：画函数图象
例6 在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出函数y＝x＋0.5的图象：
解析：利用题目所给的解析式，根据自变量和函数的关系列出表格，找到它们的有序数对，建立平面直角坐标系，在坐标中描出对应点的坐标，然后用平滑的曲线连接，问题可解．
解：列表：
x … －1 0 1 2 …
y … －0.5 0.5 1.5 2.5 …
描点、连线，图象如图所示．
方法总结：由函数表达式画函数图象，一般按下列步骤进行：①列表：根据函数的解析式列出函数对应值表；②描点：用这些对应值作为点的坐标，在坐标平面内描点；③连线：把这些点用平滑曲线连接起来，可得函数图象．
探究点五：从函数的图象中获取信息
例7 某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系．下列说法错误的是( )
A．小强从家到公共汽车站步行了2公里
B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C．公共汽车的平均速度是30公里/时
D．小强乘公共汽车用了20分钟
解析：根据题意和图象可知小强从家到公共汽车站步行了2公里，选项A正确；根据题意和图象可知小强在公共汽车站等小明用了10分钟，选项B正确；公交车的速度为15÷＝30(公里/时)，选项C正确；小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，选项D错误．故选D.
方法总结：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的实际意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
三、板书设计
教学反思
本节课的教学内容是函数的三种表示方法，函数表示法学生才接触到，学生感觉有点难．这节课的重点是让学生掌握函数的列表、与解析法和图象法，难点是理解这三种表示方法的优缺点．就此问题，通过让学生对几个例子比较、讨论、总结、归纳各种方法的优点来解决，这样学生就能很好地区分这三种表示方法，并
能对不同的问题选择恰当的方法．
教学目标
1．了解和掌握函数表示方法中的列表法、解析法和图象法，理解这三种表示方法的优缺点；
2．体会用描点法画函数图象的一般步骤，初步掌握用描点法画函数图象；(重点)
3．理解和掌握函数中自变量取值范围的确定，能用这种表示函数的方法解决简单的实际问题；
4．能从函数的图象中获得相关的信息，能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测．(难点)
教学过程
一、情境导入
汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶里程为skm，行驶时间为th.先填写下表：
t/h 1 2 3 4 5 t
s/km
在以上这个过程中，变化的量是________，不变化的量是________．试用含t的式子表示s.
二、合作探究
探究点一：自变量的取值范围
例1 函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞－2且x≠1 B．x≥2且x≠1
C．x≥－2且x≠1 D．x≠1
解析：根据算术平方根的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围．根据题意得解得x≥－2且x≠1.故选C.
方法总结：函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式有算术平方根的表达式时，考虑被开方数为非负数．在实际问题中，自变量的取值还要使实际问题有意义．
探究点二：列表法和解析法
【类型一】 列表法
例 2 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
写出用t表示s的函数表达式：________．
解析：观察表中给出的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出函数表达式．t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×32；t＝4时，s＝2×42；…，所以s与t的函数表达式为s＝2t2，其中t≥0.故答案为s＝2t2(t≥0)．
方法总结：本题以列表法表示时间t与距离s之间的关系，认真观察分析s随t的变化而变化的规律是列出函数表达式的关键．
【类型二】 解析法
例3 一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是( )
A．y＝1.5(x＋12)(0≤x≤10)
B．y＝1.5x＋12(0≤x≤10)
C．y＝1.5x＋12(x≥0)
D．y＝1.5(x－12)(0≤x≤10)
解析：设挂重为x，则弹簧伸长为1.5x，挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是y＝1.5x＋12(0≤x≤10)．故选B.
方法总结：关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．在实际问题中求函数解析式时，要特别注意自变量的取值范围．
探究点三：函数的图象
【类型一】 根据函数的定义判断函数图象
例4 下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是( )
解析：B图象上对于x的任意取值有两个值对应，所以B不是函数．其他图象对于x的任意取值都有唯一确定的值和它对应．故选B.
方法总结：由图象判断y是否为x的函数的关键是一个x所对应的y是否唯一，当x的值确定时，y的值也是唯一确定，此时，y是x的函数．
【类型二】 根据实际情景描述函数图象
例5 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车．车修好后，因怕耽误上课，与修车前相比，他加快了速度匀速行驶．下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图象，那么大致符合小明行驶情况的图象是( )
解析：根据题意，在修车前，s随t的增加而增加．这段时间，图象从左下到右上，呈上升趋势；修车时，时间t增加，但s不变，此时，图象是平行于横轴的；车修好后，小明加快速度，此时图象比修车前的图象更陡一些，仍呈上升趋势，综上所述，应选C.
方法总结：以上例题中的图象有生动的实际背景，必须仔细观察折线的有关特征，联系实际问题的背景知识，解答题目中的问题．在观察图象时，一定要搞清楚横轴与纵轴表示的量的实际意义．
探究点四：画函数图象
例6 在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出函数y＝x＋0.5的图象：
解析：利用题目所给的解析式，根据自变量和函数的关系列出表格，找到它们的有序数对，建立平面直角坐标系，在坐标中描出对应点的坐标，然后用平滑的曲线连接，问题可解．
解：列表：
x … －1 0 1 2 …
y … －0.5 0.5 1.5 2.5 …
描点、连线，图象如图所示．
方法总结：由函数表达式画函数图象，一般按下列步骤进行：①列表：根据函数的解析式列出函数对应值表；②描点：用这些对应值作为点的坐标，在坐标平面内描点；③连线：把这些点用平滑曲线连接起来，可得函数图象．
探究点五：从函数的图象中获取信息
例7 某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系．下列说法错误的是( )
A．小强从家到公共汽车站步行了2公里
B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C．公共汽车的平均速度是30公里/时
D．小强乘公共汽车用了20分钟
解析：根据题意和图象可知小强从家到公共汽车站步行了2公里，选项A正确；根据题意和图象可知小强在公共汽车站等小明用了10分钟，选项B正确；公交车的速度为15÷＝30(公里/时)，选项C正确；小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，选项D错误．故选D.
方法总结：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的实际意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
三、板书设计
教学反思
本节课的教学内容是函数的三种表示方法，函数表示法学生才接触到，学生感觉有点难．这节课的重点是让学生掌握函数的列表、与解析法和图象法，难点是理解这三种表示方法的优缺点．就此问题，通过让学生对几个例子比较、讨论、总结、归纳各种方法的优点来解决，这样学生就能很好地区分这三种表示方法，并
能对不同的问题选择恰当的方法．