2021-2022 北师大版 数学 九年级下册 2.5 二次函数与一元二次方程 课件(共56张PPT)

(共56张PPT)
5 二次函数与一元二次方程
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=______。
当△﹥0时，方程根的情况是________________；
当△=0时，方程根的情况是________________；
当△﹤0时，方程根的情况是______________。
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条_____，它与x轴的交点有几种可能的情况？
抛物线
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
与x轴有两个交点
b2-4ac＞0
两个不相等的实数根
a＞0
a＜0
y
O
x
x1
x2
x1
x2
y
O
x
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
a＞0
a＜0
y
O
x
x1=x2
y
O
x
x1=x2
两个相等的实数根
与x轴无交点
b2-4ac＜0
a＞0
a＜0
没有实数根
x
y
O
x
设抛物线y=ax +bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，交点坐标如何计算？
（1）二次函数y=x2-5x的图象与x轴的两个交点
的坐标分别是　 　　 　.
（0，0），（5，0）
（2）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别是x1=2，x2=3，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标分别是__________________.
（2，0），（3，0）
(3) 函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（　　）
A. 无解 B. x=1
C. x=-4 D. x=-1或x=4
D
从“数”上看：当函数y=x2+ax+b的函数值y=0时，自变量x的值就变成方程x2+ax+b=0的根.
从“形”上看：当二次函数y=x2+ax+b与x轴交点横坐标为方程x2+ax+b=0的根.


y=x-2
y=3
解得
知识点：把函数转化为方程求解。
列为
x=5
y=3
如图，一次函数 y=3 与 y=x-2两直线相交，
请问如何求它们的交点P？
x
y
3
1
2
P
y=x-2
y=3
-2
y=x-2
如何求一次函数 y=x-2 与直线 y=0(x轴）的交点？
x
y
-2
1
2
y=x-2
y=x-2
y=0
求得交点的横坐标为2
知识点：把函数转化为方程求解。
列为
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？
当b2－4ac≥0时，
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
2.解下列一元二次方程：
（1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0.
解：（1）x1=0, x2=-2.
（2）x1=x2=1.
（3）没有实数根.
（1）h和t的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？
h/m
t/s
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：
[方法一]看图象
8秒落地
[方法二]解方程
-5t2+40t=0
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程： x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 解方程验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
活动探究2
二次函数y=x2+2x的图象
与x轴有几个交点？
与x轴有2个交点：
（-2，0）和（0，0）
一元二次方程x2+2x=0
有几个根？
解：x(x+2)=0
x=0或x+2=0
∴ x1=-2，x2=0
方程的根是-2和0
b2-4ac > 0
二次函数y=x2-2x+1
的图象与x轴有几个交点？
与x轴有1个交点：
（1，0）
一元二次方程x2-2x+1=0
有几个根？
解： (x-1)2=0
∴ x1=x2=1
方程的根是1
b2-4ac = 0
二次函数y=x2-2x+2
的图象与x轴有几个交点？
与x轴没有交点
一元二次方程x2-2x+2=0
有几个根？
没有实数根
解：∵△=(-2)2-4×1×2
=-4﹤0
∴ 原方程无实根
【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
只有一个交点
有两个相等
的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系：
【归纳】
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = x2－4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程x2－4x=3（即x2－4x－3=0）．
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数
y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
即二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
有三种情况:
(1)有两个交点
(2)有一个交点
(3)没有交点
b2–4ac > 0
b2–4ac= 0
b2–4ac< 0
也就是若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac
≥0
1. 观察判断下列图象哪个有可能是抛物线 的图象？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A.
B.
C.
D.
√
【跟踪训练】
2.观察函数的图象,完成填空：
(1)抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标 .
(2)当x取交点的横坐标时，函数是 ；
(3)所以方程 的根是 .
两
-2，1
0
x1=-2 ，x2=1
3.观察函数的图象,完成填空：
(1)抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标是 ；
(2)当x取交点的横坐标时，函数是 ；
(3)所以方程 的根是 .
一
2
0
x1=x2=2
1
0
1
x
y
M
N
2
3
2
y=x2-4x+4
4. 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
h/m
t/s
想一想
（3）何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
故2s和6s时，小球离地面的高度是60m.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程 它们的关系如何
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A.y=2x2 – 3 B.y= - 2 x2 + 3
C.y= - x2 – 3x D.y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点
情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
D
C
【跟踪训练】
3.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的
实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有
＿＿个交点.
4.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在 x轴上, 则c=＿＿.
1
1
16
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，
(3)确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
分别约为-4.3和2.3
解法1
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y=x2+2x-10
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y=x2+2x-10
其横坐标一个在-5与-4之间
另一个在2与3之间
约为-4.3
约为2.3
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
解法2
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
(4).由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(5).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2). 作直线y=3；
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方
程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示，求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.
(1)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(2)确定方程-2x2+4x+1=0的解;
由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
例1：利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.
x
y
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
方法: (1)先作出y=x -x-3的图象;
(2)写出交点的坐标：
（-1.3，0），（2.3，0）
(3)得出方程的解：
x1=-1.3，x2=2.3.
【例题】
D
1.
【跟踪训练】
C
2.
－3.3
3.
4.根据下列表格的对应值:
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A.3C.3.24x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
体会两种思想：
1.数形结合思想
弄清一种关系：二次函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax2 +bx+c 与x轴有公共点(x1,o)（x2,0),那么x1,x2 就是方程 ax2 +bx+c=0的两个根.
2.分类讨论思想
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
有两个交点
有两个不等的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
一元二次方程
二次函数
一元二次方程的根
与x轴交点情况
y=0
解方程
图象
由“数”
到“形”
由“形”
到“数”
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
Δ
D
1.
A
D
D
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方
程ax2+bx+c=0的解是 .
x
y
0
5
x1=0，x2=5
7.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交
点.
8.已知抛物线 y=x2–8x+c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
9.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2，x2= ,
那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿和
___________.
1
1
16
（ ，0）
（-2，0）
10．（株洲·中考）二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．
4
11.（咸宁·中考）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).
（1）证明:4c=3b2.
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
由（1）得
∴二次函数的最小值为-4.
【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程
的两根．根据一元二次方程根与系数的
关系，得 ,
∴
，
，
（2）依题意，
，
，
，
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表,则方程ax2+bx+c=0中的一个解的取值范围是(　 　)
x 3.17 3.18 3.19
y -0.03 -0.01 0.02
A.-0.03C.-0.01B
13.二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2.若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1解:如图,关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线
y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标.
易得二次函数表达式为y=-x2+4x.
当x=1时,y=3;当x=5时,y=-5;当x=2时,y=4.
由图象可知,关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1∴-5