2021-2022 北师大版 数学 九年级下册 3.7 切线长定理 课件(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022 北师大版 数学 九年级下册 3.7 切线长定理 课件(共32张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-20 10:53:36 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
*7 切线长定理
切线的性质定理
定理 圆的切线垂直于过切点的半径
提示:
“见切点，连圆心”是常用辅助线之一.
∵CD与⊙O相切与点A,且OA是半径∴CD⊥OA.
C
D
B
●O
A
A
B
C
I●
┓
●
E
F
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
你还记得内切圆与内心吗
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
同学们打篮球吗？当你把篮球夹在腋下时，你能从中抽象出什么样数学图形？
B
A
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2.这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
50°
130°
O
P
O
A
B
P
如何用圆规和直尺
作出这两条
切线呢？
.
思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,
连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上
O
·
P
A
B
O
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
O
P
A
B
比一比：
切线与切线长
O
A
B
P
1
2
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么
折一折
请证明你所发现的结论.
A
P
O
B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
证一证
切线长定理
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.
几何语言:
O
P
A
B
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
PA =PB
∠OPA=∠OPB
A
P
O
B
若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
OP垂直平分AB
M
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
试一试
A
P
O
.
B
若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
又∵ PC=PC.
∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC.
C
.
P
B
A
O
（3）连接圆心和圆外一点
（2）连接两切点
（1）分别连接圆心和切点
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.
想一想
探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.
B
A
P
O
C
E
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
D
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP，△AOB
（3）写出图中所有的全等三角形
B
A
P
O
C
E
D
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
【解析】
设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC可得
13-x+9-x=14，
解得x=4.
∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
【例题】
【例2】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，
求证：AD+BC=AB+CD.
证明：由切线长定理得
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,
即AD+BC=AB+CD，
补充：圆的外切四边形的两组对边
的和相等．
D
L
M
N
A
B
C
O
P
【例题】
1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.
4
2
x
x
【解析】设OA=xcm；
在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,
由勾股定理，得
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2,
整理，得x=3.
所以，半径OA的长为3cm.
【跟踪训练】
A
B
C
D
E
F
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.
求AE,CD,BF的长.
.
I
x
y
z
【解析】设AE=x，BF=y，CD=z,
x
y
z
答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.
x+y=15,
y+z=8,
x+z=11,
x=9,
y=6,
z=2,
则
解得
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，
切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等
于（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.150°
C
B
3.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，
那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解析】如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是
直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切
圆半径为1，利用勾股定理求得AB= ,那么这个正三角
形的边长为 .
A
B
答案：D
4.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm,
PF+FQ=PB=PA=12cm.
∴周长为24cm.
F
5.
*7 切线长定理
切线的性质定理
定理 圆的切线垂直于过切点的半径
提示:
“见切点，连圆心”是常用辅助线之一.
∵CD与⊙O相切与点A,且OA是半径∴CD⊥OA.
C
D
B
●O
A
A
B
C
I●
┓
●
E
F
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
你还记得内切圆与内心吗
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
同学们打篮球吗？当你把篮球夹在腋下时，你能从中抽象出什么样数学图形？
B
A
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2.这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
50°
130°
O
P
O
A
B
P
如何用圆规和直尺
作出这两条
切线呢？
.
思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,
连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上
O
·
P
A
B
O
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
O
P
A
B
比一比：
切线与切线长
O
A
B
P
1
2
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么
折一折
请证明你所发现的结论.
A
P
O
B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
证一证
切线长定理
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.
几何语言:
O
P
A
B
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
PA =PB
∠OPA=∠OPB
A
P
O
B
若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
OP垂直平分AB
M
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
试一试
A
P
O
.
B
若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
又∵ PC=PC.
∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC.
C
.
P
B
A
O
（3）连接圆心和圆外一点
（2）连接两切点
（1）分别连接圆心和切点
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.
想一想
探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.
B
A
P
O
C
E
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
D
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP，△AOB
（3）写出图中所有的全等三角形
B
A
P
O
C
E
D
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
【解析】
设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC可得
13-x+9-x=14，
解得x=4.
∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
【例题】
【例2】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，
求证：AD+BC=AB+CD.
证明：由切线长定理得
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,
即AD+BC=AB+CD，
补充：圆的外切四边形的两组对边
的和相等．
D
L
M
N
A
B
C
O
P
【例题】
1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.
4
2
x
x
【解析】设OA=xcm；
在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,
由勾股定理，得
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2,
整理，得x=3.
所以，半径OA的长为3cm.
【跟踪训练】
A
B
C
D
E
F
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.
求AE,CD,BF的长.
.
I
x
y
z
【解析】设AE=x，BF=y，CD=z,
x
y
z
答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.
x+y=15,
y+z=8,
x+z=11,
x=9,
y=6,
z=2,
则
解得
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，
切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等
于（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.150°
C
B
3.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，
那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解析】如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是
直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切
圆半径为1，利用勾股定理求得AB= ,那么这个正三角
形的边长为 .
A
B
答案：D
4.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm,
PF+FQ=PB=PA=12cm.
∴周长为24cm.
F
5.