(共43张PPT)
4 二次函数的应用
第1课时
①当a>0时,y有最小值＝
②当a<0时,y有最大值＝
二次函数的最值求法
y
x
o
顶点
a<0
开口向下
y
x
o
顶点
a<0
开口向下
y
x
o
顶点
a>0,开口向上
y
x
o
顶点
a>0,开口向上
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
N
40m
30m
A
B
C
D
┐
【例题】
类型一：利用二次函数解决几何图形问题
解析：
1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相
关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且
用函数表示这个面积；
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
1、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少
C
F
E
B
G
D
A
┐
┐
M
N
【跟踪训练】
(1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
2、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
A
B
C
D
┐
M
N
P
40m
30m
x
b
H
G
┛
┛
当x=25时，y的值最大，最大值是300.
3.
4.
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．
11.2 s
【例题】
1.在矩形ABCD中，AB＝6cm ，BC＝12cm ，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm /秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设运动时间为t秒（0（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8 ；
（2）设五边形APQCD的面积为S ，
写出S与t的函数关系式，t为何值时
S最小？求出S的最小值。
Q
P
C
B
A
D
【跟踪训练】
Q
P
C
B
A
D
解：
（1）由题意得：
解得：
运动开始后2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8 .
（2）由题意得：
当 时，
即 时， 有最小值，最小值为63
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
【例题】
解析：
即当x=1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.
平面直角坐标系
坐标原点
y轴
类型二：利用二次函数解决“抛物线”型实际问题
C
y＝－x2
y＝－x2＋2.25
y＝－(x－1)2＋2.25或y＝－x2＋2x＋1.25
利用二次函数解决“抛物线”型实际问题的基本思路是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式；
(4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
24
C
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
或
2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．
解析：
3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．
（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如图铺设白色地面砖的费用为
每平方米30元，铺设绿色地面砖的费
用为每平方米20元，当广场四角小正
方形的边长为多少米时，铺设广场地
面的总费用最少？最少费用是多少？
（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意
得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，
整理得x2－45x＋350＝0，
解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，
所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，
则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
【解析】
（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，
广场四角的小正方形的边长为x米，则
y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋
20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]
即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得
y＝80（x－22．5）2＋199 500，
当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，
所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，
铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．
4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，
即
∴
∴
【解析】
，
，
.
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时， Rt△BFE≌Rt△CED，
化成顶点式:
⑵当m=8时，
，得
∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.
得关于x的方程:
⑶由
，及
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
当EC=6时,
m=CD=BE=2.
=CD=BE=6;
∴当EC=2时，
5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
（1）依题意得：y=(40-2x)x．
∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0< x <20．
（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0．
∵ a=1，b=-20，c=105，
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
∴
【解析】
【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.(共47张PPT)
4 二次函数的应用
第2课时
顶点坐标为(h,k)
①当a>0时，y有最小值k
②当a<0时，y有最大值k
y
x
o
顶点
a<0
开口向下
y
x
o
顶点
a<0
开口向下
y
x
o
顶点
a>0,开口向上
1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.
2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：
销售利润=单件利润×销售量
选择什么量设呢？
类型1 利润最大问题“每每型”
若设批发单价为x元，则：
单件利润为 。
降价后的销售量为 。
利润用y元表示，则 。
方法一：
化简得：
若设每件T恤衫降x元，则：
单件利润为 。
降价后的销售量为 。
利润用y元表示为 。
方法二：
化简得：
方法三：
若设批发价下降0.1x元，则：
单件利润为： 。
降价后的销售量为： 。
利润用y元表示为 。
化简得：
(13-0.1x-10)元
（5000+500x）元
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
请同学们思考：
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况.
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品
的利润y也随之变化，我们先来确定y随x变化的函数解析式.
涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件,
每件利润为 元，因此，所得利润
为 元.
10x
(300-10x)
(60+x-40)
（60+x-40）(300-10x)
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【解析】设每件涨价x元，则y=(60+x-40)(300-10x)，
(0≤x≤30)
即y=-10（x-5）2+6250
∴当x=5时，y最大值=6 250.
怎样确定x的取值范围
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6 250元.
也可以这样求最值：
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案.
【解析】设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润：
y=(300+20x)(60-40-x)
=-20(x -5x+6.25)+6 125
=-20（x-2.5） +6 125
∴x=2.5时，y最大值=6 125.
怎样确定x的取值范围
（0＜x＜20）
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
用二次函数解决最值问题的一般步骤：
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
【归纳】
【跟踪训练】
70
1.
2.（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.
（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得：
(5+x)(200－10x)=1 500，
解得：x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10
所以 x=5.
答：每千克应涨价5元.
（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得
y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，
当x= 时,y有最大值.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.
类型2 结合一次函数解决利润最大问题
3.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系,如图所示,则最大利润是( )
A.180元 B.190元
C.200元 D.220元
C
4.(营口中考)某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,日销售量y(千克)与时间第t天之间的函数关系式为y=2t+100(1≤t≤80,t为整数),销售价p(元/千克)与时间第t天之间满足一次函数关系如下表:
第t天 1 2 3 … 80
销售价p/(元·千克-1) 49.5 49 48.5 … 10
(1)直接写出销售价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式.
(2)在整个销售旺季的80天里,哪一天的日销售利润最大 最大利润是多少
解:(1)销售价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式为
p=-0.5 t+50.
(2)设每天获得的利润为w元.
由题意得w=(2t+100)(50-0.5t-6)=-t2+38t+4400=-(t-19)2+4761.
∵a=-1<0,∴w有最大值,
当t=19时,w最大,此时w最大=4761.
答:第19天的日销售利润最大,最大利润是4761元.
【答案】1 800
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
确定自变量的取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
1、某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
分 析：相等关系 客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数
若设每间客房的日租金提高 ，
每间房屋的日租金为 。
每天客房出租数会减少 间，出租 间
客房日租金的总收入为y元，则：
X个10元
6X
(160+10x)元
(120-6x)
自变量还可以怎么设？
2.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价提高x元，销售利润为y元，则
y=(30-20+x)(400-20x)
＝-20x2+200x+4000
＝-20(x-5)2+4500. (0≤x ≤20)
∴x=5时，最大利润y=4500
即：当销售单价为35元时，可在半月内获得最大利润4500元
自变量还可以怎么设？
3.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x≤
即1006 000x-10x2；
【解析】（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x
当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;
(2) 当0≤x≤100时，y1=5 000x≤500 000<1 400 000；
当100y1=6 000x-10x2=-10(x-300)2+900 000<1 400 000；
故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯．
得
由
得
所以，由
3.（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
=
（3）因为w=
【解析】（1）y=50-
（0≤x≤160）；
（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-
）
所以x= =170时，w有最大值，而170>160,故由函数
性质知x=160时，利润最大，此时订房数y=50- =34，
此时的利润为10 880元.
4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
（1）由题意，得：w = (x－20)·y
=(x－20)·(-10x+500)
=-10x2+700x-10 000
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
【解析】
当 时，w有最大值.
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2 000．
设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=
-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时，P最小＝3 600.
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．
（3） ∵
5.（扬州市中考）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果漆器笔筒的销售量不低于240件，
当销售单价为多少元时，每天获取的利润最
大，最大利润是多少？
【解析】（1）设y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），
∴
解得：
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
∴30＜x≤46，
设利润为w＝（x﹣30） y＝（x﹣30）（﹣10x+700），
w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，
﹣10（x﹣50）2＝﹣250，
x﹣50＝±5，
x1＝55，x2＝45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
