(共28张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
A
B
C
●O
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
同弧或等弧所对的圆周角相等
圆周角定理的推论一：
C
B
A
O
D
C
A
O
B
D
E
F
同弧（AB）：
等弧（AB和CD）：
1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题.
2．培养学生观察、分析及理解问题的能力.
3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式.
B
C
O
A
F
E
思考 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
●
B
C
A
O
思考2 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
分析：
∵ ∠AOB = 180°，
∴ ∠ACB· = ∠AOB = 90°°.
●
B
C
A
O
思考 90°的圆周角所对的弦是直径吗？
∵ ∠A = 90°，
∴ ∠BOC=2∠A= 180°，
即B,O,C三点共线，
即弦BC过点O,即BC为圆O的直径
直径所对的圆周角是直角.
90°圆周角所对的弦是直径.
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180 .
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
如何证明你的猜想呢？
圆的内接四边形的对角互补.
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
圆内接四边形的角的“三种关系”：
1.对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
2.四个内角的和是360°，若四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
3.任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
例2 如图,在圆内接四边形ABCD中,
(1)求证:
证明：连接BD.
O
D
C
A
B
O
D
C
A
B
证明：
四边形ABCD是圆内接四边形,
(2)求四边形ABCD的面积.
O
D
C
A
E
B
解：延长CD至点E，使DE=BC，连接AE.
O
D
C
A
E
B
D
D
O
D
C
A
B
解题时注意：
1.对于圆内接多边形来说，
角：既可以是多边形的内角，也可以是圆的圆周角；
线段：既可以是多边形的边，也可以是圆的弦。
2.与圆周角有关的问题：弦的条件需转化成弧的条件。
1．要理解好圆周角定理的推论.
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角.
（2）构造同弧所对的圆周角.
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角相等
直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
圆内接四边形的对角互补
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角
构造同弧所对的圆周角
构造直径所对的圆周角
√
×
×
×
O
A
B
C
判断题：
（1）在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的圆周角所对的弧也相等. （ ）
（3）90°的角所对的弦是直径. （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等. （ ）
(3)
(4)
O
B
A
C
E
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
A
C
B
O
D
E
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
5.填空题:
(1)如图所示,
∠BAC= ,∠DAC= .
D
A
B
C
∠DBC
∠BDC
●O
A
C
B
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,
则BC= cm.
5
6.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,
⊙O的弦AD交⊙O1于C,则
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
(2)OC与BD的位置关系是___________;
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
OC垂直平分AD
平行
4
C
D
A
B
O
O1
7.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
●O
A
C
B
E
解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE所以∠E=30°, ∠ABE=90°.由AB=4得直径AE=8.
【规律方法】圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，
而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁.如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.(共31张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
你还记得什么是圆心角吗？
B
A
圆心角: 顶点在圆心的角
O
1.了解圆周角的概念.
2.理解圆周角定理的证明.
3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想.
请你比一比：
O
A
B
顶点在圆上
O
A
B
C
顶点在圆心
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗
.
O
B
C
A
特征：
①角的顶点在圆上.
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.
②角的两边都与圆相交.
探究
请你想一想
O
A
B
顶点在圆上
O
A
B
C
顶点在圆心的角
叫圆心角
并且两边都与圆相交
的角叫圆周角
为什么圆心角的定义中没有提到“两边都与圆相交”呢？
1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.
图１
图２
图３
图４
图５
2、指出图中的圆周角.
A
O
B
C
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
×
×
√
×
×
【巩固练习】
O
有没有圆周角？
有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
它们都对着同一条弧
A
C
B
说说你的想法,并与同伴交流.
提示:注意圆心角与圆周角的位置关系.
A
B
C
●O
A
B
C
●O
●O
A
B
C
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
圆周角和圆心角的关系
议一议
A
B
C
●O
A
B
C
●O
●O
A
B
C
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
圆周角和圆心角的关系
议一议
圆心在∠B的一条边上
圆心在∠B内
圆心在∠B外
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
● O
A
B
C
D
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
∠ABD = ∠AOD,
∠CBD = ∠COD,
∴ ∠ABC = ∠AOC.
提示:能否也转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
A
B
C
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
∴∠ABC = ∠AOC.
●
O
提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即∠ABC= ∠AOC.
D
D
圆心在角的边
圆心在角
圆心在角
上
内
外
定理：
圆周角定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
∠AOB=2∠BOC
A
O
B
C
∠ACB=2∠BAC
证明：
∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
例.如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
【例题】
●O
D
E
B
A
C
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系
请找出下图中弧AB所对的圆周角和圆心角，若∠C为55°，则∠AOB为多少度，∠D和∠E又分别是多少度？
C
B
A
O
D
E
由此，你有什么发现，能得出什么结论
∵∠C=55°
∴∠AOB=2∠C=110°
∴∠D= ∠AOB=55°
同理∠E= 55°
如图1,圆中一段 对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系 为什么
图2
由此你能得出什么结论
●O
B
C
D
E
A
图1
如图2,圆中 那么∠C和∠G的大小有什么关系 为什么
探究
同弧或等弧所对的圆周角相等
圆周角定理的推论一：
C
B
A
O
D
几何表达：∠C=∠D
C
B
A
O
D
E
F
同弧（AB）：
⌒ ⌒
∵ AB = CD
∴ ∠E=∠F
等弧（AB和CD）：
如图,圆中∠C=∠G, 那么 的大小有什么关系 为什么
由此你又能得出什么结论
在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.
如图，若∠B=∠C
则
【例题】
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠1=∠4
∠2=∠7
∠3=∠6
∠5=∠8
定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A
O
B
C
A
O
B
C
A
O
B
C
D
B
A
O
70°
x
1.求圆中角x的度数
A
O
x
120°
C
C
D
B
2. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆
心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°，
则∠CAD=_______.
25
答案：35° 120°
3.判断
（1）顶点在圆上的角叫圆周角.（ ）
（2）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半.（ ）
×
√
（2）如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB=_____，∠ADB=______.
D
A
O
C
B
4. 计算
（1）半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是_______________.
130
50
36 或144°
O
·
A
O
C
B
5.（重庆·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°则∠AOC的度数等于（ ）
A.140° B.130°
C.120° D.110°
A
6.（潼南·中考）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（ ）
A．15° B. 30°
C. 45° D．60°
B
7.（德化·中考）如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ ）
D
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
8.（红河·中考）如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
9.（衡阳·中考）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o，∠C=50o， 那么sin∠AEB的值为（ ）
D
A.
B.
C.
D.
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.
