(共46张PPT)
6 直线和圆的位置关系
第2课时
切线性质定理：
∵CD切⊙O于点A
∴ OA⊥CD.
C
D
B
●O
A
几何语言：
圆的切线垂直于过______的__________
直径(半径)
切点
常用辅助线：“见切点，连圆心”
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力．
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．
3.会作三角形的内切圆．
直线和圆相交
d r
d r
直线和圆相切
直线和圆相离
d r
相交
相切
相离
<
=
>
B
●O
A
l
┓
d
α
┏
d
α
d
┓
你能写出一个命题来表述这个事实吗
如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
C
D
B
●O
A
∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,
∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是
d=r 直线和圆相切
的另一种说法.
探究新知
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
判断
例1.如图,AB是⊙O的直径, ∠ABT=45°,AT=BA．
求证:AT是⊙O的切线.
A
T
B
O
证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°，即AT⊥AB，故AT是⊙O的切线．
【例题】
Ｏ
Ａ
Ｂ
2．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？
解：过O作OC⊥AB ，因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5，AB=8，所以AC＝BC=4，据勾股定理得OC=3.∴ ⊙O与直线AB相切.
1.如图,已知直线AB 经过⊙O上的点C, 并且AO=OB,CA=CB,
那么直线 AB是⊙O的切线吗
解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC＝BC，所以OC⊥AB．∴直线AB是⊙O的切线.
【跟踪训练】
【规律方法】
证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：
过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；
常用辅助线：“连半径，证垂直”
例1：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AB相交于点E.
(1)判断直线BC与⊙D的位置关系，并证明你的结论；
(2)若AC＝3，BC＝5，求BE的长．
解：(1)直线BC与⊙D相切．
证明：如图，过D作DF⊥BC于F，
∴∠CFD＝∠A＝90°.
∵CD平分∠ACB，∴DA＝DF，
即DF是⊙D的半径，
∴直线BC与⊙D相切．
(2)∵∠BAC＝90°，AC＝3，BC＝5，
在Rt△ACD和Rt△FCD中，
∴Rt△ACD≌Rt△FCD(HL)，
∴CF＝AC＝3，∴BF＝2.
∵DF⊥BC，∴△BDF∽△BCA，
【规律方法】
证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：
连接圆心与圆上的点，证垂直.
常用辅助线：“作垂直，证等径”
从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切
A
B
C
A
B
C
●
┓
┗
┗
I●
┓
●
D
M
N
探究新知
三角形的内切圆作法：
（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求.
∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,
因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
A
B
C
I●
┓
●
E
F
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
这样的圆可以作出几个呢 为什么
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
内心均在三角形内部
A
B
C
A
B
C
●
●
●
C
A
B
┐
做一做
判断题：
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3.等边三角形的内心和外心重合 （ ）
4.三角形的内心一定在三角形的内部 （ ）
错
错
对
对
巩固练习
例2.如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，
则∠BOC的度数是 .
A
B
C
O
（2）若∠A=80°，则∠BOC= .
（3）若∠BOC=110°，则∠A= .
130°
40°
120°
【例题】
【答案】B
●
A
B
C
┏
解：由Rt△ABC的三边长与其内切圆半径间的关系得
A
B
C
●
┏
O
b
a
c
┗
┓
O
D
E
F
┗
●
【跟踪训练】
1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,
∠C是直角, AC=3,BC=4.求⊙O的半径r.
●
●
A
B
C
●
O
┓
E
D
┗
┗
F
2.已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,
周长等于10cm.
求内切圆⊙O的半径r.
3.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC，BC，AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.求镇标雕塑
中心M离道路三边的距离有多远？
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
M
E
D
F
提示：AC⊥BC，BC=30米，AC=40米,得AB=50米.由
得M离道路三边的距离为10米.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
切线的性质(圆的切线垂直于过切点的半径) 切线的判定1
(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线) 切线的判定2
(若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线)
∵________________________，
∴__________. ∵___________，∴___________. ∵___________
，∴___________.
方法口诀 有切线，圆心连切点，得垂直 证切线，圆心连准切点，证垂直 作垂直，证半径
AB是⊙O的切
线，A为切点
AB⊥OA
AB⊥OA
AB是⊙O的切线
OA⊥AB，OA是
⊙O的半径
AB是⊙O的切线
1.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.
∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，
又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.
2.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
并证明你的结论.
(2)若tan∠ACB= ，BC=2，
求⊙O的半径.
【解析】（1）直线CE与⊙O相切.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ，
又 ∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AE0+∠DEC=90°，
∴∠OEC=90 °，
∴直线CE与⊙O相切.
BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=
AC= .
又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ，
设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，
解得：r= .
（2）∵tan∠ACB=
∴DE=DC tan∠DCE=1，
在Rt△CDE中，CE=
得
，
，
由
3.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.
（2）如果∠BDE=60°， ，求PA的长.
【解析】（1）PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.
又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.
∴∠P=∠PDA=30°.
在Rt△PDO中，设OD=x,
∴
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）
∴PA=1.(共30张PPT)
6 直线和圆的位置关系
第1课时
点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则：
点在圆外 d>r;
点在圆上 d=r；
点在圆内 dA
B
C
数形结合：位置关系 数量关系
1. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.
2. 连接直线外一点与直线所有点的线段中，最短的是垂线段.
点到直线的距离:
1．理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数,圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定它们.
2．掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.
太阳与地平线的位置关系,列车的轮子与铁轨之间的关系, 给你留下了_________的位置关系的印象.
直线与圆
地平线
你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点的个数有 种情况。
三种
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？
作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,试说出直线和圆有几种位置关系
相交
相切
●O
●O
●O
相离
直线和圆有两个公共点
直线和圆有一个公共点
直线和圆没有公共点
探究
直线和圆的位置关系
l
l
l
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线.唯一的公共点叫切点.
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
o
o
o
M
你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗
看图判断直线l与⊙O的位置关系
（1）
（2）
（3）
（4）
相离
相切
相交
相交
l
l
l
l
·O
·O
·O
·O
想一想
利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系具有一定的局限，你有更好的判断方法吗？
“点和圆的位置关系”怎样判断？
图形 点与圆的位置关系 圆心到点的距离d与半径r的关系
点和圆的三种位置关系
A
A
A
o
o
o
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d仿照这种方法怎样判断“直线和圆的位置关系”？
做一做
Ｏ
l
┐
d
r
ｏ
l
2.直线和圆相切
┐
d
r
d = r
O
l
3.直线和圆相交
d < r
d
┐
r
1.直线和圆相离
d > r
直线和圆的位置关系
令圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r
探究新知
1.已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交点,则圆心到直线的距离d的取值范围是 .
2.直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为8,则r的取值范围是 .
d>5
r>8
3．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B.相交
C. 相切 D.相切或相交
C
巩固练习
提示：求圆心A到x轴，
y轴的距离各是多少.
A.(-3,-4)
O
x
y
4.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与
⊙A的位置关系是_____, y轴与⊙A的位置关系是______.
B
C
4
3
相离
相切
5.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm, AC=4cm.
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切
(2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系
当r=4cm时,dA
C
B
┐
D
┛
当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离;
(2)由(1)可知,圆心到AB的距离d= cm,所以
解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.
∵AB=8cm,AC=4cm.
∴∠A=60°.
因此,当半径长为 cm时,AB与⊙C相切.
切线的性质
前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.
切线还有什么性质？
探索切线性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说说你的理由.
直径AB⊥CD.
C
D
B
●O
A
●假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
●则OM●所以AB与CD垂直.
切线的性质定理
定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
提示:
切线的性质定理是证明两线
垂直的重要方法;
“见切点，连圆心”是常用辅助线之一.
∵CD与⊙O相切与点A,且OA是半径∴CD⊥OA.
C
D
B
●O
A
例1：如图所示，AB 为⊙ O 的直径，PD 切⊙ O 于点C，交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD.
（1）求∠ D 的度数.
（2）若CD=2，求BD 的长.
（1）连接OC. ∵ AO=CO，
∴∠ OAC= ∠ ACO. ∴∠ COD=2 ∠ CAD.
又∵∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠ COD.
∵ PD 与⊙ O 相切于点C，∴ OC ⊥ PD，
即∠ OCD=90° .∴∠ D=45° .
（2）由（1）可知△ OCD 是等腰直角三角形.
∴ OC=CD=2.
由勾股定理，得OD= = =2 ，
∴ BD=OD-OB=2 -2.
解:
例2:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD是垂直于过点C的切线,垂足为D.
(1)求证：AC平分BAD
解：(1)如图：连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°
∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC
即AC平分∠BAD．
常用辅助线“见切点,连圆心”
(2)若AC＝ ,CD＝2, 求⊙O的直径．
(2)连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
在Rt△ADC中，AC＝ ，CD＝2，∴AD＝4，
∴ ，∴AB＝5
常用辅助线 “见直径, 想直角”
2
直线与圆的位置关系的判定方法：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
圆心到直线距离
d与半径r关系 d < r d = r d > r
公共点名称 交点 切点 无
直线名称 割线 切线 无
切线性质定理：
∵CD切⊙O于点A
∴ OA⊥CD.
C
D
B
●O
A
几何语言：
圆的切线垂直于过______的__________
直径(半径)
切点
常用辅助线：“见切点，连圆心”
1．（青岛·中考）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
B
C
A
B
2.（娄底·中考）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（ ）
A.与x轴相切，与y轴相切 B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相交，与y轴相切 D.与x轴相交，与y轴相交
C
3.（赤峰·中考）如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A.1cm B.2cm C.4cm D.2cm或4cm
D
·O
l
【规律方法】直线与圆位置关系的判定可以从数的角度和形的角度进行判定，数的角度是圆心到直线的距离；形的角度是直线与圆的交点的个数.
4.(重庆·中考）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与
⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
【解析】∵AB是⊙O的切线，B为
切点，∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，
∵OB=OC，
∴∠OCB= （180°﹣∠O）=65°．
C
