2021-2022 北师大版 数学 九年级下册 1.3 三角函数的计算 课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022 北师大版 数学 九年级下册 1.3 三角函数的计算 课件(共33张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-20 22:34:30 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
3 三角函数的计算
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900.
直角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
b
A
B
C
a
┌
c
互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.
特殊角300,450,600角的三角函数值.
1.经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义.
2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力.
3.发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力.
如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=ABsin 16°.
你知道sin16°是多少吗
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢
用科学计算器求三角函数值,要用到三个键:
例如,求sin16°,cos42°,tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示:
sin
cos
tan
按键顺序
sin 16°
cos 42°
tan 85°
sin 72° 38′25″
sin
1
6
cos
4
2
tan
8
5
sin
7
2
3
8
2
5
=
=
=
=
由于计算器的型号与功能不同,请按照相应的说明书使用.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=ABsin 16°=200sin 16°.你知道sin 16°是多少吗？
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢？
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到以下按键:
对于本节一开始提出的问题,利用科学计算器可以求得: BC=ABsin16°≈200×0.275 6=55.12（m）.
当缆车继续从点B到达点D时,它又走过了200 m.缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能计算什么
温馨提示:用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位.本书约定,如无特别说明,计算结果一般精确到万分位.
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到达点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此大家还能计算什么？
E
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
如图,在Rt△ABC中， 那么是多少度呢 要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
如何用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小？
已知三角函数值求角度，要用到 sin 、cos 、tan键的第二功能“sin-1，cos-1，tan-1”和 SHIFT 键.
例如：已知sin A=0.981 6，求锐角A；
已知cos A=0.860 7，求锐角A；
已知tan A=0.189 0，求锐角A；
已知tan A=56.78，求锐角A.
按键顺序 显示结果
sin A=0.981 6
cos A=0.860 7
tan A=0.189 0
tan A=56.78
SHIFT
sin
0
·
9
8
1
6
=
sin-10.981 6
=78.991 840 39
SHIFT
cos
0
·
8
6
0
7
=
cos-10.860 7=
30.604 730 07
SHIFT
tan
0
·
1
8
9
0
=
tan-10.189 0=
10.702 657 49
SHIFT
tan
5
·
6
7
8
=
tan-156.78=
88.991 020 49
根据上述方法你能求出问题1中∠A的大小吗？
按键顺序和显示结果为
SHIFT
sin
0
·
2
5
=
14.477 512 19°
再按 ° ′ ″ 键可显示14 28′39″，所以∠A=14 28′39″.
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 ′ ″ 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.
例1 用计算器计算:(结果精确到万分位)
(1)sin 26°≈ ；
(2) sin82°48′15″≈________．
已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，
将屏幕显示的结果按要求取近似值即可．
(1)依次按sin 2 6 ＝键，得到数据再精确到万分位即可；
(2)依次按sin 8 2 °’ ” 48°’ ”15°’ ”＝键，得到数据再精确到万分位即可．
0.4384
0.9921
例2 根据下列条件求锐角A的度数：(结果精确到1′)
(1)sin A＝0.732 1；(2)cos A＝0.218 7；(3)tan A＝3.527.
解：(1)先按SHIFT sin 0.7321＝键，显示：47.062 734 57，
再按°’”键，即可显示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.
(2)先按 SHIFT cos 0.2187＝键，显示：77.367 310 78，
再按°’”键，显示77°22′2.32″，所以∠A≈77°22′.
(3)先按 SHIFT tan 3.527＝键，显示：74.170 530 81，
再按°’”键,显示74°10′13.91″，所以∠A≈74°10′.
1.用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．sin18°24′+sin35°26′=sin45°
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
D
2. 已知sin α＝ ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒”为单位，最后按键( )
A．AC/ON B. SHIFT C．MODE D. °′ ″
D
3.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)sin47°； (2)sin12°30′；
(3)cos25°18′； (4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：
(1)sin47°≈0.7314；
(2)sin12°30′≈0.2164；
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
4. 根据下列条件求锐角θ的大小：
（1）tan θ=2.988 8；
（2）sin θ=0.395 7；
（3）cos θ=0.785 0； （4）tan θ=0.897 2.
θ=71 30′2″
θ=23 18′35″
θ=38 16′46″
θ=41 53′54″
1 用计算器求下列各式的值:
(1)sin 56°.
(2) sin 15°49′.
(3)cos 20°.
(4)tan 29°.
(5)tan 44°59′59″.
(6)sin 15°+cos 61°+tan 76°.
【跟踪训练】
【解析】
（1）0.829 0.
（2）0.272 6.
（3）0.939 7.
（4）0.554 3.
（5）1.000 0.
（6）4.754 4.
2.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
【解析】在Rt△ABC中，
在Rt△ABD中，
温馨提示:当从低处观察高处的目标时.视线与水平线所成的锐角称为仰角.当从高处观察低处的目标时.视线与水平线所成的锐角称为俯角.
A
O
B
C
3.如图,物华大厦离小伟家60 m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部的仰角是45°,而大厦底部的俯角是37°,求该大厦的高度 (结果精确到0.1m).
A
O
B
C
【解析】如图，在Rt△AOC中，
在Rt△BOC中，
答：物华大厦的高度约为105.2m.
直角三角形中的边角关系
1填表(一式多变,适当选用):
b
A
B
C
a
┌
c
A
B
C
β
α
a
D
┌
已知两边求角及其三角函数 已知一边一角求另一边 已知一边一角求另一边
2模型:
三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐角三角函数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
知识点1 利用计算器求锐角三角函数值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( )
A.5÷tan26= B.5÷sin26= C.5×cos26= D.5×tan26=
D
0.433
0.7617
3.已知cos A=0.8480,则锐角A的度数大约为( )
A.30° B.31° C.32° D.33°
C
4.(滨州·中考) 在△ABC中,∠C=90°, ∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（ ）
A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
【解析】AC=ABcos72°≈10×0.309≈3.1.
C
5.（南通·中考）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20 min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知 ）
解得CD=
=500（
）m≈366 m．
【解析】过C作CD⊥AB于D点，由题意可知AB=50×20=1000 m，
∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD= ，BD= ，
∵AD+BD= =1000（m），
答：建筑物C到公路AB的距离约为366 m.
6.（广州·中考）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC.
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）.
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝
答：大楼的高度CD约为116米．
【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610 米.
故BE＝DEtan39°．
因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan 39°
＝610－610×tan 39°≈116（米）.
（2）DE＝AC＝610米，
【规律方法】解决此类实际问题的关键是能够根据题意画出几何图形，构造直角三角形，充分利用三角函数的有关知识并能结合勾股定理灵活运用.
3 三角函数的计算
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900.
直角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
b
A
B
C
a
┌
c
互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.
特殊角300,450,600角的三角函数值.
1.经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义.
2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力.
3.发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力.
如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=ABsin 16°.
你知道sin16°是多少吗
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢
用科学计算器求三角函数值,要用到三个键:
例如,求sin16°,cos42°,tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示:
sin
cos
tan
按键顺序
sin 16°
cos 42°
tan 85°
sin 72° 38′25″
sin
1
6
cos
4
2
tan
8
5
sin
7
2
3
8
2
5
=
=
=
=
由于计算器的型号与功能不同,请按照相应的说明书使用.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=ABsin 16°=200sin 16°.你知道sin 16°是多少吗？
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢？
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到以下按键:
对于本节一开始提出的问题,利用科学计算器可以求得: BC=ABsin16°≈200×0.275 6=55.12（m）.
当缆车继续从点B到达点D时,它又走过了200 m.缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能计算什么
温馨提示:用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位.本书约定,如无特别说明,计算结果一般精确到万分位.
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到达点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此大家还能计算什么？
E
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
如图,在Rt△ABC中， 那么是多少度呢 要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
如何用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小？
已知三角函数值求角度，要用到 sin 、cos 、tan键的第二功能“sin-1，cos-1，tan-1”和 SHIFT 键.
例如：已知sin A=0.981 6，求锐角A；
已知cos A=0.860 7，求锐角A；
已知tan A=0.189 0，求锐角A；
已知tan A=56.78，求锐角A.
按键顺序 显示结果
sin A=0.981 6
cos A=0.860 7
tan A=0.189 0
tan A=56.78
SHIFT
sin
0
·
9
8
1
6
=
sin-10.981 6
=78.991 840 39
SHIFT
cos
0
·
8
6
0
7
=
cos-10.860 7=
30.604 730 07
SHIFT
tan
0
·
1
8
9
0
=
tan-10.189 0=
10.702 657 49
SHIFT
tan
5
·
6
7
8
=
tan-156.78=
88.991 020 49
根据上述方法你能求出问题1中∠A的大小吗？
按键顺序和显示结果为
SHIFT
sin
0
·
2
5
=
14.477 512 19°
再按 ° ′ ″ 键可显示14 28′39″，所以∠A=14 28′39″.
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 ′ ″ 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.
例1 用计算器计算:(结果精确到万分位)
(1)sin 26°≈ ；
(2) sin82°48′15″≈________．
已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，
将屏幕显示的结果按要求取近似值即可．
(1)依次按sin 2 6 ＝键，得到数据再精确到万分位即可；
(2)依次按sin 8 2 °’ ” 48°’ ”15°’ ”＝键，得到数据再精确到万分位即可．
0.4384
0.9921
例2 根据下列条件求锐角A的度数：(结果精确到1′)
(1)sin A＝0.732 1；(2)cos A＝0.218 7；(3)tan A＝3.527.
解：(1)先按SHIFT sin 0.7321＝键，显示：47.062 734 57，
再按°’”键，即可显示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.
(2)先按 SHIFT cos 0.2187＝键，显示：77.367 310 78，
再按°’”键，显示77°22′2.32″，所以∠A≈77°22′.
(3)先按 SHIFT tan 3.527＝键，显示：74.170 530 81，
再按°’”键,显示74°10′13.91″，所以∠A≈74°10′.
1.用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．sin18°24′+sin35°26′=sin45°
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
D
2. 已知sin α＝ ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒”为单位，最后按键( )
A．AC/ON B. SHIFT C．MODE D. °′ ″
D
3.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)sin47°； (2)sin12°30′；
(3)cos25°18′； (4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：
(1)sin47°≈0.7314；
(2)sin12°30′≈0.2164；
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
4. 根据下列条件求锐角θ的大小：
（1）tan θ=2.988 8；
（2）sin θ=0.395 7；
（3）cos θ=0.785 0； （4）tan θ=0.897 2.
θ=71 30′2″
θ=23 18′35″
θ=38 16′46″
θ=41 53′54″
1 用计算器求下列各式的值:
(1)sin 56°.
(2) sin 15°49′.
(3)cos 20°.
(4)tan 29°.
(5)tan 44°59′59″.
(6)sin 15°+cos 61°+tan 76°.
【跟踪训练】
【解析】
（1）0.829 0.
（2）0.272 6.
（3）0.939 7.
（4）0.554 3.
（5）1.000 0.
（6）4.754 4.
2.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
【解析】在Rt△ABC中，
在Rt△ABD中，
温馨提示:当从低处观察高处的目标时.视线与水平线所成的锐角称为仰角.当从高处观察低处的目标时.视线与水平线所成的锐角称为俯角.
A
O
B
C
3.如图,物华大厦离小伟家60 m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部的仰角是45°,而大厦底部的俯角是37°,求该大厦的高度 (结果精确到0.1m).
A
O
B
C
【解析】如图，在Rt△AOC中，
在Rt△BOC中，
答：物华大厦的高度约为105.2m.
直角三角形中的边角关系
1填表(一式多变,适当选用):
b
A
B
C
a
┌
c
A
B
C
β
α
a
D
┌
已知两边求角及其三角函数 已知一边一角求另一边 已知一边一角求另一边
2模型:
三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐角三角函数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
知识点1 利用计算器求锐角三角函数值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( )
A.5÷tan26= B.5÷sin26= C.5×cos26= D.5×tan26=
D
0.433
0.7617
3.已知cos A=0.8480,则锐角A的度数大约为( )
A.30° B.31° C.32° D.33°
C
4.(滨州·中考) 在△ABC中,∠C=90°, ∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（ ）
A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
【解析】AC=ABcos72°≈10×0.309≈3.1.
C
5.（南通·中考）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20 min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知 ）
解得CD=
=500（
）m≈366 m．
【解析】过C作CD⊥AB于D点，由题意可知AB=50×20=1000 m，
∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD= ，BD= ，
∵AD+BD= =1000（m），
答：建筑物C到公路AB的距离约为366 m.
6.（广州·中考）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC.
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）.
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝
答：大楼的高度CD约为116米．
【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610 米.
故BE＝DEtan39°．
因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan 39°
＝610－610×tan 39°≈116（米）.
（2）DE＝AC＝610米，
【规律方法】解决此类实际问题的关键是能够根据题意画出几何图形，构造直角三角形，充分利用三角函数的有关知识并能结合勾股定理灵活运用.