(共35张PPT)
二次函数的图象与性质
第4课时
函数表达式 开口方向 增减性 对称轴 顶点坐标
a<0,开口向下.
a<0,在对称轴左
侧,y都随x的增
大而增大,在对
称轴右侧,y都随
x的增大而减小 .
a>0,
开口
向上;
a>0,在对称轴左
侧,y都随x的增大
而减小,在对称轴
右侧,y都随 x的增
大而增大;
复习完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2
填空:x2+8x+( ）=（ ）2
x2-5x+( ）=（ ）2
x2-18x+( ）=（ ）2
x2+ x+( ）=（ ）2
x2+2bx+( ）=（ ）2
6.25
16
x+4
81
x-2.5
x-9
x+
x+
左边配上一次项系数的一半的平方
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.
1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为完全平方式,后两项合并同类项
化简
这个结果通常称为顶点坐标公式.
二次函数y=ax +bx+c的顶点式
【探究新知】
因此,二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线.
结论 顶点坐标公式
二次函数y=ax2+bx+c图象和性质：
对称轴：
顶点：
y
O
x
（a>0）
最小值：
如果a>0,
当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
y
O
x
（a<0）
最大值：
如果a<0,
当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 .
二次函数的图象和性质
解: (2)当x=-1时,y有最小值-3.
解: (3)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,∴当x<-1时,y随x的增大而减小.
1 关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
2 点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3>y2>y1 B.y3>y1= y2
C.y1>y2>y3 D.y1=y2>y3
D
D
【跟踪训练】
类型1：a＝1，b为偶数
3．(例1)用配方法将抛物线y＝x2＋6x－1化成顶点式，并写出
开口方向，顶点坐标，对称轴．
解：y＝(x＋3)2－10
开口向上，顶点坐标为(－3，－10)
对称轴为直线x＝－3
4.用配方法将抛物线y＝x2－8x＋1化成y＝a(x－h)2＋k的形式，
并写出开口方向、顶点坐标、对称轴．
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
＝x2＋x＋ ＋1－
＝(x2＋x＋ )＋
＝(x＋ )2＋
∴顶点坐标为(－ ， )
6.求抛物线y＝x2－3x＋2的顶点坐标．
解：∵y＝x2－3x＋2
＝x2－3x＋ ＋2－
＝(x－ )2－
∴顶点坐标为 ( ， )
类型3：a≠1
7．(例3)求二次函数y＝－2x2＋12x－10的最大值．
解：y＝－2(x2－6x＋9－9)－10
＝－2(x2－6x＋9)＋(－2)×(－9)－10
＝－2(x－3)2＋8
∵－2＜0
∴当x＝3时，函数有最大值8.
8.求二次函数y＝3x2－12x－3的最小值.
解：y＝3(x2－4x)－3
＝3(x2－4x＋4－4)－3
＝3(x2－4x＋4)－3×4－3
＝3(x－2)2－15
∵3＞0
∴当x＝2时，函数有最小值－15.
9.(例4)求抛物线y＝ x2－2x＋3的顶点坐标．
解：∵y＝ x2－2x＋3＝ (x2＋4x)＋3
＝ (x2＋4x＋4－4)＋3
＝ (x2＋4x＋4)＋( )×(－4)＋3
＝ (x＋2)2＋5
∴顶点坐标为(－2，5)
10.求抛物线y＝ x2＋3x＋1的顶点坐标．
解：y＝ x2＋3x＋1
＝ (x2－2x＋1－1)＋1
＝ (x2－2x＋1)＋( )×(－1)＋1
＝ (x－1)2＋
∴顶点坐标为(1， )
11.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
【解析】
（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）.
（2）对称轴为直线x=8,顶点坐标为（8，1）.
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y= x + x+10
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
你有哪些计算方法？与同伴进行交流.
y/m
x/m
桥面 -5 O
10
5
【例题】
（1）将函数y= x2+ x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
【解析】方法一
y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
（2）
（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
方法二
y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
顶点：
对称轴：
B
A
C
B
6.在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得图象的顶点坐标是( )
A.(-3,-6) B.(1,-4)
C.(1,-6) D.(-3,-4)
C
7.(百色中考)抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到
( )
A.先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度
B.先向左平移6个单位长度,再向上平移7个单位长度
C.先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度
A
8.抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A(共31张PPT)
二次函数的图象与性质
第3课时
o
y
x
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
(1)y=ax2
(2)y=ax2+c
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
1.二次函数 y=ax2+c与y=ax2的图象有何关系？
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2的
图象平移得到：
当c > 0 时，向上平移|c |个单位长度得到.
当c < 0 时，向下平移|c |个单位长度得到.
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？
3.把y=-2x2的图象
向上平移3个单位
y=-2x2+3
向下平移2个单位
y=-2x2-2
4.二次函数y=-5x2+3的图象如何平移得到y=-5x2的图象？
本质：上下平移，改变了函数的顶点坐标，
不改变函数的对称轴。
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
1.函数 的图象的顶点坐标是 ；
开口方向是 ；最 值是 .
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数 的
图象向 平移 个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数
__________的图象.
(0,3)
小
向上
3
y=-2x2
上
3
y=-3x2-2
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.
2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
3.能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
4.能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1.（1）完成下面问题.
①完成下表，并比较2x2和2(x-1)2的值，它们之间有什么关系？
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
2x2 … …
2(x-1)2 … …
32
18
8
2
0
2
8
18
32
50
32
18
8
2
0
2
8
18
②在下图中作出二次函数y=2(x-1)2的图象
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2 (x-1)2
y=2x2
③函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2 (x-1)2
y=2x2
函数y=2(x-1)2的图象由y=2x2的图象
向右平移1个单位得到，
它是轴对称图形.
对称轴：直线x=1
顶点坐标：（1，0）
类似地，你能发现二次函数y=2（x+1）2的图像与二次函数y=2x2的图像有什么关系吗？
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2 (x-1)2
y=2x2
y=2（x+1）2
知识要点
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
左右平移规律：
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
④对于函数y=2(x-1)2和y=2(x+1)2，x取哪些值时， y值随x值的增大而增大？ x取哪些值时， y值随x值的增大而减小？
1
2
3
4
5
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y=2 (x-1)2
y=2x2
y=2（x+1）2
函数y=2(x-1)2(y=2x2或y=2(x+1)2)
当x>1 (x>0 或 x>-1)时，
y值随x值的增大而增大;
当x<1 (x<0 或 x<-1)时，
y值随x值的增大而减小.
基础函数y=2x2的所有与范围和位置有关的性质全部作对应的平移即可得到平移函数的对应的性质
二次函数 y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
要点归纳
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
（h,0）
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
D
【跟踪训练】
A
D
D
＞
在同一坐标系中画出下列函数的图象：
o
y
x
思考：它们的图象之间有什么关系？
例：
函数 的图象
o
y
x
函数 的图象
函数 的图象
向上平移2个单位
向右平移1个单位
【解析】
函数y=a(x-h)2的图象
对称轴是 直线x=h ；
顶点是（h ，0）
函数 的图象
向右平移h（h﹥0）个单位
(向左平移︱h︱（h﹤0）个单位)
函数y=a(x-h)2的图象：
0
x
y
（h ，0）
函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象关系：
【归纳升华】
（h ，0）
o
y
x
画出二次函数y=3(x-1)2+2的图象，并与二次函数y=3x2的图象进行比较，说明它们之间的关系.
探究二
函数 的图象
函数 的图象
函数 的图象
函数 的图象
向右
平移
1个
单位
向上平移
2个单位
向右
平移
1个
单位
向上平移
2个单位
的图象
向右平移h个
单位
的图象
向右平移h个
单位
的图象
向上平移 k 个
单位
的图象
向上平移 k 个
单位
对称轴：直线x= h
顶点： (h，k)
【规律方法】
（当k,h都大于0时）的图象特点.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
A
D
【跟踪训练】
A
A
B
平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.
复习y=ax2+c
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向及增减性
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
a的符号决定
增减性
y=ax2
课堂小结
1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ).
A.y=(x－2)2+1 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x－2)2－3 D.y=(x+2)2－3
【解析】根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符合，再根据图象经过点(0，1)知选项C符合.
C
2．（西宁·中考）将抛物线
向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为__________.
3．（襄樊·中考）将抛物线 先向上平移
2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表
达式为________________________________________．
（或
4．（宁夏·中考）把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）
B
B.
C.
D.
A.
5．（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…,则
E（x，
）可以由E（x，x2
）怎样平移得到？
（ ）
A.向上平移１个单位 B.向下平移１个单位
C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位
D(共20张PPT)
2 二次函数的图象与性质 第1课时
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
（1）列表.
（3）连线.
（2）描点.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
1.探索经历二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象间的联系.
请你画出二次函数 y=x2 的图象.
1.列表：
y
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
y=x2
2.描点
3.连线
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
当x<0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时,
y随着x的增大而增大.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点
外),顶点是它的最低点,开口向
上,并且向上无限伸展;当x=0时,
函数y的值最小,最小值是0.
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≥0.
（3）当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.
（4）当 x= 0时，y最小值= 0.
（5）图象关于y轴对称.
x
y
o
y=x2
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.
o
x
y
y=－x2
x
y
o
y=x2
做一做
说说二次函数y=-x2的图象
有哪些性质,与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≤0.
（3）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.
o
x
y
y=－x2
议一议
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
二次函数y=x2和y=－x2图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
知识点1 y=x2与y=-x2的图象
1.点(0,0)是 ( )
A.抛物线y=x2的最低点 B.抛物线y=x2的最高点
C.抛物线y=-x2的最低点 D.抛物线y=x2和抛物线y=-x2的最低点
A
2.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法中,错误的是( )
A.抛物线y=x2和y=-x2有相同的顶点和对称轴
B.在同一平面直角坐标系中,抛物线y=x2和y=-x2既关于x轴对称,又关于原点对称
C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反
D.点A(-2,4)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上
D
3．（烟台·中考）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）
D
t
s
A
t
s
B
t
s
C
t
s
D
O
O
O
O
A.（4，4） B.（1，－4）
C.（2，0） D.（0，4）
4．（哈尔滨·中考）在抛物线
上的一个点是（ ）
C
知识点2 y=x2与y=-x2的性质
5.(广州·中考)已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
6.已知点(-2,y1),(1,y2),(3,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .(用“>”连接)
y3>y1>y2
增大
知识点3 y=x2与y=-x2的图象与性质
7.二次函数y=-x2与一次函数y=-x-1的图象在同一平面直角坐标系中的大致位置是( )
C
8.已知正方形的边长为x cm,面积为y cm2,则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是( )
C
9.如图,A,B为抛物线y=x2上的两点,且直线AB⊥y轴.若AB=6,则点A的坐标为
( )
A.(3,3) B.(3,9) C.(-3,3) D.(-3,9)
D
10.直线y=-2与抛物线y=-x2的交点有 个.
11.如图,边长为2的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是 .
2
2
1.函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口方向是由a的符号决定的，a＜0开口向下,a＞0开口向上，图象是关于y轴对称的轴对称图形.
2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低（高）点.
【规律方法】(共39张PPT)
二次函数的图象与性质
第2课时
二次函数y=x2和y=-x2的性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
的图象，并能够比较它们
1.能作出二次函数
和
与
对二次函数图象的影响.
的图象的异同，理解
2.能说出二次函数
和
图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.
晴天刹车距离
s晴= v
100
1
雨天刹车距离
s雨= v
50
1
你能作出 的图象吗？
s雨= v2
v 0 20 40 60 80 100
0
8
32
72
128
200
s雨= v2
s晴= v2
0 4 16 36 64 100
s晴＝ v2,
列表
做一做
1. 和
s雨= v2
s晴= v2
的图象有什么相同点？
答：都在s轴的右侧.
112
96
80
64
48
32
16
s晴＝ v2
s雨＝ v2
v/(km/h)
O 20 40 60 80 100 120
s/m
【合作探究】
2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？
112
96
80
64
48
32
16
s晴＝ v2
s雨＝ v2
v/(km/h)
O 20 40 60 80 100 120
s/m
【解析】如图，s=s雨-s晴
3.在某一个雨天，有一个司机在限速为30km/h的路口停了下来，这时过来一个警察告诉他超速驾驶了，可他说没有，如果他的刹车距离为32m,你认为他有没有撒谎？
112
96
80
64
48
32
16
s晴＝ v2
s雨＝ v2
v/(km/h)
O 20 40 60 80 100 120
s/m
【解析】由图可
知当刹车距离是
32m时速度是40km/h,所以该司机超速.即该司机撒谎.
·
·
探究一 在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
问题：它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
y
x
2
6
4
8
10
0
2
-2
-4
y=x2
·
·
y=2x
x -2 -1 0 1 2
y=2x2 8 2 0 2 8
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数
y=2x
y=x
抛物线
向上
y轴
（0，0）
抛物线
向上
（O，O）
y轴
【解析】
y
x
2
6
4
8
10
O
2
-2
-4
y=x2
y=2x2
y=-x2
y=-2x2
x -2 -1 0 1 2
y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8
y=-x2 -4 -1 0 -1 -4
4
问题：它们与二次函数y=x 和y=2x 的图象又有什么异同？
在下列平面直角坐标系中，
作出y=-x 及y=-2x 的图象
做一做
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数
y=2x2
y=x2
y=-2x2
y=-x2
抛物线
向上
y轴
（0，0）
抛物线
向下
（O，O）
y轴
抛物线
向上
（0，0）
y轴
抛物线
向下
（0，0）
y轴
【解析】
函数y=3x 及y=-3x 的图象会有哪些特点？
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
函 数
y=3x
y=-3x
抛物线
向上
y轴
（0，0）
抛物线
向下
（O，O）
y轴
探究二
在同一直角坐标系中，画出函数
y=2x2的图象.
探究三
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
y=2x2
－2
2
2
4
6
4
－4
8
函数 , y=2x2 的图
象与y=x2的图象相比，有什
么共同点和不同点？
(1)图象是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么
图象是轴对称图形，对称轴是y轴.
图象开口向上， a越大开口越小.
图象的顶点是原点，为抛物线的最低点.
(2)图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口大小有什么规律？
(3)图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还是最低点？
思考：
当a>0时，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
【归纳】
画出函数 的图象，
并考虑这些抛物线与y=-x2有什么共同点和不同点．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
请找出相同点与不同点
当a＜0时，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
【归纳】
x
-1
-3
-2
2
1
3
-6
-5
-4
-3
-1
-2
6
5
4
1
o
2
3
4
5
6
7
-4
-5
-6
y
｜a ｜决定抛物线的开口大小
｜a ｜越大，抛物线的开口越小，图象越靠近y轴
｜a ｜越小，抛物线的开
口越大，图象越远离y轴
｜a ｜相等，抛物线的开口大小相同
当a>0时：
当a<0时：
x
-1
-3
-2
2
1
3
-6
-5
-4
-3
-1
-2
6
5
4
1
o
2
3
4
5
6
7
-4
-5
-6
y
例：根据图象判断a1，a2，a3 的大小
0
a3B
2．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_______________(请用“＞”连接排序)．
a1＞a2＞a3＞a4
在同一坐标系中作出二次函数y=2x +1的图象与二次函数y=2x 的图象.
二次函数y=2x +1的图象与二次函数y=2x 的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看．
二次项系数为2,开口向上;
开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).
二次函数y=2x2+1的
图象形状与y=2x2
一样,仍是抛物线.
二次函数y=2x2+1的图象是什么形状 它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
位置不同;
最小值不同:
分别是1和0.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样
y
二次项系数为-2,开口向下;
开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).
二次函数y=-2x2+1的
图象形状与y=-2x2
一样,仍是抛物线.
二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状 它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
位置不同;
最大值不同:
分别是1和0..
想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质
二次函数y=ax +c与y=ax 的关系
1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0).
(2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax +c(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
函数
关系式 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2
y=ax2+c
y=ax2+c的图象是由 y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0 时，向上平移c个单位;
当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
抛物线
a>0向上,a<0向下
y轴
（0，0）
抛物线
a>0向上,a<0向下
y轴
（0，c）
y=ax 及y=ax +c（a≠0）的图象和性质
【规律方法】
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2 +c(a>0)
y=ax2 +c(a<0)
（0，c）
（0，c）
y轴
y轴
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限);
当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限);
当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
向上
向下
当x=0时,最小值为c.
当x=0时,最大值为c.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
相同
y轴
|k|
(0，k)
【跟踪训练】
y＝x2＋3
A
A
B
A
二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2 +c的图象及性质和关系
抛物线 y=ax2(a≠0) y= ax2 +c
开口方向
对称轴
顶点
增减性
最值
关系
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
a>0时，在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；a<0时，在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
最大（小）值是0
最大（小）值是c
（0，c）
a>0时，在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；a<0时，在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
y=ax2向上（下）平移|c|个单位
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向及大小
顶点坐标（0，0）
增减性
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向
增减性
与y=ax2的关系
（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减”即自变量加减左右移.
A
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（济南·中考）在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴的交点的个数是（ ）
B
3．坐标平面上有一函数y=24x2 48的图象，其顶点坐标为（ ）
A.(0， 2) B.(1， 24)
C.(0， 48) D.(2，48)
C
4．（郴州·中考）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________．
y=x2－1
5．（西宁·中考）小汽车刹车距离s（m）与速
度v（km/h）之间的函数关系式为
一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆
故障车，此时刹车 有危险（填“会”或
“不会”）.
会