24.3 正多边形和圆 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
24.3正多边形和圆
人教版九年级上册
教学目标
教学目标：1. 理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间
的关系.
2.会进行有关的计算，能够画一些特殊的正多边形.
教学重点:正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.
教学难点：会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
新知导入
情境引入
生活中的正多边形图案
新知讲解
合作学习
问题2：你还能举出这样的例子吗？
问题1：什么样的图形叫做正多边形？
雪花晶体
储物柜
螺丝
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
硬币
问题3： 矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；
菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
正方形是正多边形.
特别强调：
　　只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
思考： 如何在圆中作出圆内接正多边形？
正多边形与圆到底有什么样的关系呢
弦相等（多边形的边相等）
弧相等 —
圆周角相等（多边形的角相等）
这个正多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
等分圆
以正五边形为例,你能证明吗
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
⌒
5
探究： 如何在圆中作出圆内接正五边形？
如图，把 ⊙O 分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE ．
解：如图，把圆分成了5段相等的弧，依次连接各分点，得到五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE =EA
((
∴AB=BC=CD=DE=EA
BAD=CAE=3AB
(((
∴∠B=∠C
同理可证，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴ 五边形ABCDE是正五边形．
∵A、B、C、D、E在⊙O上，
∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．
((
(
提炼概念
一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一条边所对的圆心角
叫作正多边形的中心角.
中心到正多边形的一边的距离叫做
正多边形的边心距.
中心角
半径R
边心距r
O
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
正多边 形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多边形的外角=中心角
完成下面的表格：
典例精讲
例 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
抽象成
P
因此，亭子地基的周长
l=6×4=24（m）
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所
以它的中心角等于 =60°，△OBC是等边三角形，从而
正六边形的边长等于它的半径.
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC= =2（m）
利用勾股定理，可得边心距
r=
亭子地基的面积S=
P
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
方法一 ： 以 1.5 cm 为半径画一个圆，用量角器依次画出 60° 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的六个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形．
思考1： 你能画一个边长为 1.5 cm 的正六边形吗？
思考2： 你能用尺规作图的方法画出正六边形吗？
方法二：在半径为1.5 cm 的圆上，依次截取等于1.5 cm 的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点，即可得到正六边形．
思考3： 你能用尺规作图的方法画出正方形吗？
用直尺和圆规作 ⊙O 的两条相互垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形．
用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”.
这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
归纳概念
用尺规等分圆：
用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差．
课堂练习
1.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形
的中心角等于( )
A.36° B.18° C.72° D.54°
A
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（　　）
A．3：2：1 B．4：3：2
C．4：2：1 D．6：4：3
A
3.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为4，则
⊙O的半径是（　　）
A. 2 B. 4
C. D. 4
C
4、已知☉O和☉O上的一点A(如图).
(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,
求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边.
解(1)作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;
③依次连接A,B,C,D四点.
∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形.
④分别以A,C为圆心,OA的长为半径作弧,交☉OE,H,F,G;
⑤顺次连接A,E,F,C,G,H各点;
∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示.
(2)连接OE,DE.∵∠AOD= =90°,∠AOE= =60°,
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°.
∴DE为☉O的内接正十二边形的一边.
5.如图(1),(2),(3),…,(n),M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.
(1)求图(1)中∠MON的度数.
解：(1)连接OB,OC.
∵正△ABC内接于☉O,
∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.
又∵BM=CN,OB=OC,
∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM=∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°.
5.如图(1),(2),(3),…,(n),M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.
(2)图(2)中∠MON的度数是　　　　________,图(3)中∠MON的度数是　　　　.
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
72°
90°
∠MON=
课堂总结
正多边形
概念
计算
画法
正多边形与圆的关系
正多边形的中心、半径、边心距、中心角
正多边形的对称性
半径、边心距、中心角的计算
边长、面积的计算
量角器等分圆周画正多边形
尺规作正方形、正六边形等
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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