【数学总复习-考点精讲】RJA 第七章 综合提高 立体几何中的动态问题

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　立体几何中的动态问题
类型一　轨迹问题
角度1　判断轨迹的形状
(2022·湖北八校二联)
如图，AB是与平面α交于点A的斜线段，点C满足|BC|＝λ|AC|(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C的轨迹是拋物线；②当λ＝1时，点C的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________．(填序号)
【解析】　在△ABC中，|BC|＝λ|AC|，当λ＝1时，|BC|＝|AC|，过AB的中点作线段AB的垂面β(图略)，则点C在α与β的交线上，所以点C的轨迹是一条直线．
当λ＝2时，|BC|＝2|AC|，设B在平面α内的射影为D，连接BD，CD，AD(图略)．
设|BD|＝h，则|BC|＝.
设|AD|＝2a，在平面α内，以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，设C(x，y)，则A(－a，0)，D(a，0)，|CA|＝，|CD|＝，|CB|＝＝，
所以 ＝2，
化简可得＋y2＝＋，
所以当λ＝2时，点C的轨迹是圆．故②③正确．
【答案】　②③
角度2　求轨迹的长度
(1)(2022·上饶横峰中学期中)
如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是棱AA1，BC，C1D1的中点，M是该正方体表面上的一点，若＝x＋y(x，y∈R)，则点M的轨迹所形成的长度是________．
(2)(2022·华中师大一附中月考)在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC内(含边界)的一个动点，且满足DQ⊥AC，则点Q所形成的轨迹长度是________．
【解析】　
(1)因为＝x＋y(x，y∈R)，所以M在平面EFG上，
取A1D1，AB，CC1的中点N，H，P，则点M的轨迹是正六边形EHFPGN，轨迹长度是正六边形的周长，l＝6EN＝3.
(2)如图，连接BD，交AC于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
取PC上一点M，连接MD，MB，且DM⊥AC，又AC⊥BD，BD∩DM＝D，所以AC⊥平面BDM，则点Q的轨迹是线段BM.
以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P，C(－，0，0)，所以＝(，0，0)，＝，＝，＝(0，－2，0)．
设＝＋＝＋λ＝＋λ，0≤λ≤1，
则＝.
因为OA⊥DM，所以·＝0，解得λ＝，
所以＝，＝＋＝(0，－2，0)＋＝，
所以||＝＝，即点Q所形成的轨迹长度为.
【答案】　(1)3　(2)
求动点轨迹问题要分析寻找动点运动过程中的“定”，空间动点一般可转化为平面内的动点，结合常见曲线定义确定动点轨迹．
类型二　最值问题
(1)(多选)已知棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP⊥MC，则下列结论中正确的是(　　)
A．点P的轨迹中包含AA1的中点
B．点P的轨迹与侧面AA1D1D的交线长为
C．MP的最大值是
D．直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为
(2)(2022·北京四中1月测试)
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，点P在侧面A1ABB1上，若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是________．
【解析】　
(1)如图，取A1D1的中点E，分别取A1A，B1B上靠近A1，B1的四等分点F，G，连接EM，EF，FG，MG，易知EM∥FG且EM＝FG，所以E，M，F，G四点共面．连接GC，
因为MG2＝＋＝，MC2＝＋a2＝，GC2＝＋a2＝，
因此MG2＋MC2＝GC2，所以MG⊥MC，易知ME⊥MC，因为ME∩MG＝M，ME，MG 平面MEFG，所以MC⊥平面MEFG，
即点P的轨迹为四边形MEFG(不含点M)，易知点P的轨迹与侧面AA1D1D的交线为EF，
由前知EF不过AA1的中点，所以A选项错误，又EF＝MG＝，B选项正确；根据点P的轨迹可知，当P与F重合时，MP最大，易知FG⊥平面BB1C1C，则FG⊥MG，
连接MF，所以MF＝＝，故C选项正确；由于点P的轨迹为四边形MEFG(不含点M)，所以直线CC1与直线MP所成的最小角就是直线CC1与平面MEFG所成的角，
又向量与平面MEFG的法向量的夹角等于∠C1CM，
且sin∠C1CM＝＝，所以直线CC1与平面MEFG所成角的余弦值为，
即直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值等于，故D选项正确，故选BCD.
(2)在平面A1ABB1上，以A为坐标原点，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xAy，如图所示，
设P(x，y)(0≤x≤2，0≤y≤2)，则P到CD的距离为，到AA1的距离为x.
则x＝，即x2＝y2＋1，
所以A1P＝＝≥，所以当P(，1)时，A1P最小值为.
【答案】　(1)BCD　(2)
解决空间动态最值问题的关键是由条件探索出动点的轨迹，然后利用轨迹特征确定有关的最值范围问题．
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